En communication, on distingue la discussion publique, celle destinée a être entre entendue par tous et la discussion privée, celle destinée à rester entre les interlocuteurs.

Mon opinion est donc que la meilleure traduction pour conversation off the record ou en off, (record étant ici pris pour enregistrement) est : conversation privée.

officieux à pris ce sens justement parce qu’il est opposé à officiel. Or, ce qui est officiel étant nécessairement public, à l’opposé, ce qui est officieux… ne le sera pas.
Il est curieux d’ailleurs d’observer que le sens ancien employait ce mot au sens moral de serviable, obligeant… Traduire off the record par officieux rendrait alors les deux sens simultanément… privé et… pour rendre service comme on donne un tuyau quoi… 😉

Mais… je dis ça… je dis rien… 😉

Comme toutes les traductions, un contexte est bienvenu, voire indispensable, mais à défaut, officieux est un bon candidat.

Peut-on employer la locution telle quelle ?

Guère.

Ou bien la locution un peu plus francisée hors du record ?

Encore moins. C’est un contresens. La traduction mot à mot serait « non enregistré ».

De quelle registre est « officieux » ?

Courant ou formel. Il n’y a pas de problème à l’employer dans la plupart des circonstances.

Comment « officieux » a obtenu ce sens ?

Officieux (officiosus: qui rend service) est l’antonyme d’officiel (officialis: qui concerne une charge, une fonction). Source OQLF