"drunk" -> "ivre", "saoul", "bourré"

Il y a toute une variété de subtilités sur les degrés de "drunkness" en français.

"drink" (dans le sens de "drink with alcohol") -> "boisson alcoolisée"

Ici le choix est assez pauvre. On pourrait aussi utiliser un nom de boisson plus spécifique, mais on ne couvrirait pas le sens anglophone de "drink"

"girl drink" -> boisson de femme, boisson de fillette, boisson de tapette/fiotte/autre synonyme insultant de "gay"

Ici on parle de boisson qui manque de virilité, d’une manière sexiste. En français on peut dire "boisson de femme" (par opposition à "boisson d’homme"), mais ça n’est pas très répandu. En revanche on dira plus souvent "boisson de pédé" ou autre, en choisissant l’insulte homophobe qui correspond au degré de familiarité de la situation. "Boisson de fillette" est un bon compromis, plus utilisé que "boisson de femme".

Enfin, la proposition sera "par de" si on est dans un registre soutenu, et "à" si on est dans un registre familier. "De" est à éviter car "ivre de XXX" est une expression qui signifie "qui est exalté par XXX", ce qui n’est pas ce qu’on cherche ici: ici on veut insister sur le fait que le type est minable car il ne tient pas l’alcool, pas décrire à quel point ce verre de cosmo lui a empli les sens.

En résumé, cela donne tout plein de possibilités de phrases. Voici une liste non-exhaustive où elles sont triées de la plus soutenue à la plus vulgaire:

Passablement éméché par de la boisson peu virile

Soûl/soûlé à la boisson de femme

Bourré à la boisson de fillette

Cuité à la boisson de pédale

La notion de girl drink n’existe pas tellement en français. Pour rendre le contraste et le ridicule présent en anglais, je traduirais cette phrase en utilisant le nom d’une boisson pour enfants qui en plus n’est pas alcoolisée (pas alcoolique pour les puristes).

Il s’est torché au Champomy.

Il n’y a pas d’expression consacrée, mais la traduction littérale resterait compréhensible. Si on tient absolument à être sexiste je penses qu’on peut dire :

Se torcher avec une boisson de/pour gonzesse

Mais n’importe quel alcool “doux” comme la bière ou le cidre devrait être compris, voir une boisson non alcoolique pour accentuer l’humour :

Se torcher à l’eau gazeuse/au cidre

It’s probably just my anglo tendency to associate being/getting drunk “with” whatever got/is getting me drunk, but I’d propose “avec” for the first missing preposition.

Granted, most of the hits for “se saouler avec” are in the context of “being in the company of …”, i.e., “avec les amis/copains,” but I’ve noticed that when the “avec” is followed by the thing that actually caused/is causing the state of drunkenness, it is often a product (or quantity thereof) that is not normally known for causing drunkenness, which could possibly be relevant here to the extent that “girl drinks” might be better known for their fruity sweetness than for their alcoholic strength and content.

see “Comment se saouler avec une bière sans alcool?” (from Desencylopedie) and “Un homme ivre avec une seule bière!” (from Gentside)
cf : “Un prolétaire se saoule avec du vin rouge. Un aristocrate se grise avec du champagne.” (from Dicocitations) for a normal (i.e., not a surprised “Tu t’es saoulé avec quoi?”) use of « avec » with a drink that is often associated with drunkenness.

For a replacement for “girl drink” that would not require a second preposition, “[la] liqueur” could work (but probably only) in Quebec, where “liqueur” essentially means “soda pop” or “a sweet carbonated beverage” (non-alcoholic):

“ivre/saoule/bourré(e) [qu’]avec [la] liqueur”

Perhaps «liqueur» and the above phrase could also work in places where «liqueur» does imply the presence of alcohol because some sweet liqueurs, although strong in alcohol content, were/are preferred by women, and might have been considered “girl drinks” at one time.
(You could consider adding “de femmes” to “liqueur” in the above suggestion, but I would do so with great caution because although what our Grandmothers meant by that phrase when they demanded a “real drink” might be relevant to your question, it’s current meaning [judging by the great majority of sketchy hits on Google] is not!)

One way to avoid the very nasty double entendre alluded to above were “ivre/saoule/bourré(e) avec [la/une] liqueur de femmes” to be used, would simply require changing the preposition to “pour,” as L’Express uses it in the headline: “Pharrell Williams lance une liqueur pour femmes’:

“ivre/saoule/bourré(e) [qu’]avec [la/une] liqueur pour femmes”

Bourré à l’eau de Cologne

pourrait fonctionner, mais l’expression hexagonale la plus proche semble être :

Ivre, saoul, pompette, torché, pété, défoncé à la bibine.

… les ‘féministes’ ajouteront les -e nécessaires.