Je l’aperçois partir

ne me choque pas. On trouve quelques rares occurrences de cette tournure, par exemple :

…: dès qu’il aperçut partir le carrosse, il se précipita tellement pour le suivre, qu’il laissa tomber son épée qu’il portait sous son bras…

Histoire de Mr. Bertin, Marquis de Fratteaux, Compte d’H***, 1756

Je l’aperçois manger

est moins heureux mais pas impossible. Je m’attendrais quand même plutôt à :

Je l’aperçois en train de manger.

Je le repère partir

ne semble pas possible et

je le repère qui part

est douteux. Ici aussi, d’autres tournures seraient idiomatiques.

Je le repère en train de partir.

Je le repère alors qu’il part.

Aviser doit être suivi de la préposition de avant un infinitif :

Je l’avise de partir (de parler, d’être à l’heure, etc.)

En dehors des auxiliaires être et avoir, certains verbes, dont les verbes modaux (semi-auxiliaires), peuvent donc être directement suivis d’un infinitif en tant que complément. J’ai trouvé dans cette page la liste que voici :

adorer         descendre      laisser        rentrer   
affirmer       désirer        monter         retourner  
aimer          détester       nier           revenir  
aller          devoir         user           savoir   
apercevoir     écouter        paraître       sembler 
assurer        emmener        partir         sentir   
avoir beau     entendre       penser         sortir   
avouer         entrer         pouvoir        souhaiter   
compter        envoyer        préférer       venir 
courir         espérer        prétendre      voir 
croire         faillir        se rappeler    vouloir             
daigner        faire          reconnaître  
déclarer       falloir        regarder