Y’a toujours “sauter aux conclusions”, mais pourquoi as-tu explicitement besoin de quelque chose qui référence les armes à feux?

Il y aurait éventuellement brûler (toutes) ses cartouches, avec un sens au départ seulement voisin, mais parfois utilisé de manière identique.
Le sens initial de l’expression est d’avoir épuisé tous ses moyens d’action prématurément et de se retrouver par conséquent démuni. C’est pourquoi j’y vois une similarité, même sans équivalence littérale.

J’ignore si cela peut faire l’affaire dans ton contexte, mais je voulais le signaler.

Note : Très anecdotiquement car je sais que le sens en est très différent, mais citons une expression française qui pourrait passer pour un équivalent presque littéral de jump the gun, je veux parler de l’adjectif saute-au-paf, qui dans un registre très familier fait référence à une femme prompte à “griller toutes les étapes dans le processus de séduction”… attention donc à ce faux-ami ! (devrais-je dire cette fausse amie ?)

Il y aurait bien “brûler les étapes” qui peut avoir un rapport avec les armes à feu et qui correspond bien au sens de l’expression “jump the gun”.

Sinon, plus orienté armes à feu, il y a “tirer plus vite que son ombre“, mais cette fois la signification est plus orienté sur la vitesse d’action que sur sa prématurité.

Peut-être simplement “se précipiter“.

Il y a aussi : mettre la charrue avant les bœufs