Selon linguee il faut dire essai comme déjà mentionné

L’étudiant doit rédiger un essai sur l’art moderne.

Les étudiants doivent faire des recherches avant de rédiger un essai.

Voyez ici pour plus d’exemples

https://www.linguee.fr/anglais-francais/traduction/essay.html

Voir aussi la réponse complète de @jlliagre et les commentaires qui l’accompagne.

Essay a un sens spécialisé dans l’enseignement anglophone que l’on ne retrouve pas vraiment dans le français essai qui s’applique plus à l’œuvre d’un écrivain que d’un étudiant.

Suivant la matière et le niveau on pourra parler de rédaction (secondaire, collège), dissertation (secondaire et supérieur, lycée et plus), composition (secondaire), étude, présentation ou exposé (plutôt oral).

Les trois derniers sont assez neutres et génériques, comme l’academic essay anglais.

Les trois mots choisis sont tous particuliers à l’enseignement et reflètent des degrés croissants d’implication intellectuelle bien que sur ce point il n’y ait pas parfois une grande différence entre le premier et le second; leurs définitions (TLFi) sont données ci-dessous dans l’ordre croissant de la complexité associée à ce qu’ils représentent.

1-Rédaction : Exercice d’expression écrite, à partir d’un sujet imposé ou librement choisi par les élèves (individuellement ou en groupe, on parle alors de texte libre). La rédaction peut consister en une description précise, une narration, un texte d’imagination (…). Elle est prévue (…) du cours moyen de l’école primaire jusqu’au B.E.P.C.“ (Éduc. 1979).

2-Composition : Mise en forme des connaissances sur un sujet donné, en un temps limité et en vue d’un classement.

3-Dissertation : Exercice écrit, que l’on donne aux élèves ou aux étudiants, qui consiste dans la discussion argumentée d’un sujet donné.

Dans certains collèges de l’enseignement secondaire on fait déjà écrire des compositions aux élèves de 4 ième et de 3 ième. La composition est assez souvent autre chose qu’une présentation de connaissance; il peut s’agir d’un exercice écrit dans lequel la réflexion personnelle de l’élève a sa part et elle peut être assigné en tant que devoir à la maison.

Les dissertations sont des petits travaux écrits que l’on exigeait plus ou moins périodiquement des élèves à partir des classes de seconde des lycées puis ensuite dans l’enseignement supérieur et cette pratique est très probablement poursuivie de nos jours (étant déconnecté du milieu académique, je ne peux cependant pas l’affirmer); la différence en ce qui concerne ce dernier exercice écrit et les deux premier est que l’on demande de l’élève un nouvel effort dans le développement de ses aptitudes intellectuelles en cela qu’il n’est plus tenu seulement de mettre en pratique ses dons pour la description (rédaction) et ses dons d’organisation et d’imagination (composition) mais qu’il doit commencer et continuer à appliquer son pouvoir de raisonnement à des questions réelles tout en étant convainquant dans le sens d’apporter sur ces questions une nouvelle lumière dont il aura puisé les fondements, non plus comme pour la rédaction et la composition, dans son acquis général de par ses lectures et dans son imagination, mais dans des sources spécifiques desquelles il lui est demandé de citer des parties précises propres à fournir un support crédible à ce qu’il avance. Dans les études supérieures les sujets peuvent même demander une préparation spéciale dans une branche donnée : philosophie, sciences politiques, littérature, etc. Néanmoins l’activité de disserter et ainsi d’écrire des dissertations n’est pas exclusivement une activité de l’étudiant puisque les buts et méthodes de la dissertation au niveau de l’enseignement sont ceux d’une majorité des intellectuels; il se trouve cependant que l’acception correspondant à un contexte générale a été perdue (TLFi : Vieux) ou si encore retenue de nos jours elle a été pervertie, le mot « dissertation » ainsi conçu ne conférant plus exactement la même idée : selon le TLFi « P. ext., souvent péj. ou iron. Développement écrit (généralement fastidieux) d’idées, d’opinions sur un sujet didactique quelconque. Synon. discours.»

On peut maintenant considérer le mot « essai », comme la grande différence avec les trois termes précédents est que ce n’est pas un terme associé à l’enseignement. La définition du TLFi, « [En parlant d’une œuvre littér.] Ouvrage dont le sujet, sans viser à l’exhaustivité, est traité par approches successives, et généralement selon des méthodes ou des points de vue mis à l’épreuve à cette occasion. », montre que l’essai est un produit de la pensée dont la forme est plus libre que la dissertation — Les essais de Montaigne, ouvrage dans lequel l’essai a sa forme par excellence, est empreint des réflexions de l’auteur. Cela est possiblement une raison qui ne rend pas l’essai si intéressant comme moyen de tester les aptitudes des étudiants, la dissertation se doit d’être un écrit assez strictement didactique, ce qui n’est pas le cas de l’essai.

Pour essayer de répondre à votre question je dois dire tout d’abord que la “validité” du mot n’est pas quelque chose de très précis; si vous voulez dire qu’il est tout à fait convenable pour remplacer les trois autres mots que vous considérez et qui ont été expliqués ci-dessus pour l’essentiel de ce qu’ils représentent, bien sûr, on doit dire selon ces explications qu’il n’est pas valide, il représente quelque chose de différent. Donc pour traduire l’anglais « essay » vous devez d’abord situer le contexte scolaire; s’il s’agit selon votre définition de « essay » dans le monde anglo-saxon (something you write in order to try to answer a specific question) alors il s’agit de « dissertation »; que le terme dans ce contexte scolaire soit utilisé selon l’acception française du mot et alors vous devez utiliser « essai » en précisant dans une note de traducteur que l’essai est une forme utilisée dans l’enseignement dont il est question.

Un terme apparenté à « essai » qui pourraient vous inspirer est étude. Sa définition est « Ouvrage, article qui contient les résultats d’une recherche ». C’est un terme qui représente quelque chose de plus pragmatique que la dissertation ou l’essai comme le travail intellectuel associé à sa rédaction n’implique pas une grande part de théorie personnelle mais surtout un rapport de faits. L’étude est assez similaire à une forme de ce que l’on entend par « essay » dans les universités américaines. Un autre terme qui est utilisé de temps en temps est développement. (
exemple : On lui a demandé d’écrire un développement.) Définition du TLFi : Action de traiter une question en profondeur ou de l’exposer de manière détaillée, oralement ou par écrit; son résultat