Les deux fauteuils, vous les laissé-je au rez-de-chaussée ?

C’est la phrase correcte. Concernant l’autre phrase, vous avez oublié le que.

Les deux fauteuils, est-ce que je vous les laisse au rez-de-chaussée ?

Je ne suis pas un locuteur natif mais je pense que, pour des raisons phonétiques, l’inversion de je au présent de l’indicatif, par exemple dans parlé-je, laissé-je, aimé-je, prends-je, etc. est plutôt rare.

On préfère la construction est-ce que à l’oral comme à l’écrit. Par ailleurs, à l’oral, on peut aussi employer la structure affirmative avec une intonation montante.

Cependant, ai-je, dis-je, fais-je, suis-je, vais-je, vois-je sont encore en usage (du moins, ma grammaire indique cela). De plus, puis-je est toujours utilisé au lieu de peux-je.

Cf. ma question ici :

Simple inversion with je

À la première phrase, il ne manque qu’un petit mot :

Les deux fauteuils, est-ce que je vous les laisse au rez-de-chaussée ?

Quant à la seconde, elle est correcte à un accent près :

Les deux fauteuils, vous les laissé-je au rez-de-chaussée ? _{ancienne orthographe}
Les deux fauteuils, vous les laissè-je au rez-de-chaussée ? _{nouvelle orthographe}

Quelque notes concernant cette forme, cependant :

• Le É que l’on ajoute en inversion interrogative à la première personne à l’indicatif présent des verbes où cette conjugaison se termine par un E caduc se prononce È, ce qui justifia le changement orthographique proposé par la réforme de 1990. L’ancienne orthographe demeure valide jusqu’à nouvel ordre, et les deux graphies sont donc acceptables¹.

• Cette forme d’inversion à la première personne n’est guère courante à l’oral, qui passera souvent au pronom on, qui est par sa nature imprécis, mais que l’on peut habituellement préciser à la lumière des circonstances :

  Les deux fauteuils, vous les laisse-t-on au rez-de-chaussée ?

¹ _{Ce qui ne veut pas dire que les gens en général n’ont pas leur opinion propre quant au système à privilégier… Voir à ce sujet certaines questions sur ce site, pour lesquelles les réponses et commentaires laissent voir une certaine dissension :}

• _{En quoi la nouvelle orthographe française aura-t-elle un impact important sur les textes et la prononciation ? Sera-t-elle plus facile à apprendre ?}
• _{Doit-on écrire « sûrement » ou « surement » ?}