On ne peut pas traduire not at all par « pas de tout » car cette dernière expression signifie not of everything.

Les deux formes ne sont pas interchangeables, on dit

Je n’en veux pas [du tout] = Je ne veux rien.

mais

Je ne veux pas de tout = J’en veux une partie.

Dans la première phrase, « du tout » est optionnel. Il sert juste à renforcer le « pas » tandis que dans le deuxième exemple, « de tout » est indispensable pour préserver le sens de la phrase.

« Du tout » signifie « complètement, absolument » mais il n’est plus employé dans ce sens positif. Associé à une forme négative comme dans « pas du tout » ou « rien du tout », il accentue la négation. Voir TOUT³, subst. masc. B.

You can’t translate “not at all” by pas de tout because the latter means “not of everything”.

Both forms can’t be swapped, we say

Je n’en veux pas [du tout] = I want nothing of it/I don’t want anything of it.

but

Je ne veux pas de tout = I don’t want all of it, i.e. I want some of it.

In the first sentence, du tout is optional and is used to reinforce the pas while in the second one, de tout is mandatory to preserve the sentence meaning.

Du tout means « completely, absolutely » but is no more used with this positive acceptation. Appended to a negative form like pas du tout or rien du tout, it accentuates the negation. See TOUT³, subst. masc. B.

In pas du tout, the de that is contained in du is a preposition. It plays more or less the same role the at plays in the English locution.

Since this de isn’t an article, the rule you know about articles in negative sentences doesn’t apply here.

De manière générale, le mot “du” est une contraction de “de le”.