1. Avoir l’air without de exists and means to look, e.g.

Il a l’air triste. (He looks sad)

When followed by a verb, de is required and plays a role similar than to in English:

Il a l’air d‘être triste. (He looks to be sad (but he might not be))

When followed by a substantive or a pronoun, de is also required and is similar to like:

Il a l’air de quoi ? (He looks like what? / What does he look like?)

Il a l’air d‘un clown ! (he looks like a clown!)

2. You friend was definitely wrong when telling you were incorrect.

While

La dame m’a dit que j’avais l’air que je venais de courir.

can be heard in very colloquial “broken” French of from kids, a standard and correct sentence would use de, not que, e.g.:

La dame m’a dit que j’avais l’air d’avoir couru.

Note that que je venais de courir might have been used with a different construction:

La dame m’a dit que qu’on aurait dit que je venais de courir.

See also Pourquoi dit-on "avoir l'air de …" ?

A

“De quoi j’ai l’air?” does not really mean “How do I look?”. “What do I look like?” is the correspondent English question. If you consider possible answers to that question you’ll find returns such as those;

{On dirait/Vous avez l’air de} quelqu’un qui n’as pas dormi du tout et qui tient à peine debout; votre démarche est chancelante.

• You look like someone who hasn’t slept at all and who can barely stand on his feet; your gait is very unsteady.

{On dirait/Vous me paraissez être} une fille qui n’as aucune notion de maquillage correct ou bien une fille qui est sur le point de faire une répétition dans une pièce de théatre .

• To me you appear to be a girl who has no notion of making up properly or who is ready to rehearse a part in a piece of theater.

Tu donne l’impression d’un joueur de football américain avec tout ce rembourrage sous tes vêtements. C’est ça! C’est l’apparence que je voulais avoir.

• You look like an american football player with all those stuffings under your clothes. Yes! That’s the appearance I wanted to give myself.

“How do I look?” corresponds rather to a question as “Comment me trouve-tu?/Comment me trouvez-vous?“; less usual, but closer to the English is “Quel effet je fais?“, “Quelle impression je donne?“

Answers can be as the following samples;

• Tu as l’air normalle, propre, comme d’habitude! Ne te tracasse pas.

• Vous avez l’air un peu débraillé avec cette chemise qui dépasse de votre pantalon derrière; c’est vraiment ce que vous voulez?

• Vous paraissez un peu guindé mais il ne le remarqueront pas.

• Comment le trouve tu après ces deux rounds? (How does he look after those two rounds?) Still in great shape, it’s going to be a great match!

• Vous paraissez vieux mais très alerte.

“Avoir l’air de” does not mean the same thing in plain statements and in questions.

If you ask “De quoi ont-ils l’air?” it can only be on the level of physical appearance. No one will answer by “Ils ont l’air d’en avoir par dessus la tête.”; that refers to an attitude having to do with a person’s morale; to elicit an answer of this sort you have to ask another question, as for instance, “Comment se sentent-ils?” (How are they feeling?); you can then answer using “avoir l’air de”, which means “to give the impression that”; this is because “avoir l’air de” is used to say “give an impression” both for “physical appearances” and as well for moral appearances or intellectual ones;

examples

Elle avait l’air de savoir ce qu’elle disait. Nous avions l’air d’être honnêtes. Ils avaient l’air d’être de pieux chrétiens.

B

“Il a l’air plus vieux qu’il l’est.” is not said; “l” can have for antecedent only “vieux” and so what’s being said is “Il a l’air plus vieux qu’il est vieux.”; but “il est vieux” does not stipulate how old, so that’s got no sense. It is necessary to turn that differently and one would say things such as “Il fait plus vieux que son âge.”, “Il a l’air plus vieux que l’âge qu’il a vraiment.”, “Il a l’air plus vieux que son âge.”

C

“la dame m’a dit que j’avais l’air d’être venu de courir.” is not correct; you can say

“La dame m’a dit que j’avais l’air de quelqu’un qui venait de courir.” or
“La dame m’a dit que j’avais l’air d’avoir couru.”.

(There are possibly other ways to say that.)

Why you can’t say “avoir l’air de venir de” is not clear to me. You’ll notice that when the verb is not the modal verb then there is no problem;

Elle avait l’air de venir du froid.
Ces phrases ont l’air de venir tout droit de la bible.

“J’avais l’air que je venais de courir.” is not correct either; if you absolutely want to use “venir de” another form than “avoir l’air de” is necessary; those are natural ways of say it;

La dame m’a dit qu’il lui semblait que je venais de courir.
…qu’elle croyait que je venais de courir.

…one of the problems with VOUS AVEZ L’AIR D’ÊTRE VENU DE COURIR, besides its length and consequent awkwardness, might also have to do with the fact that VENIR DE + infinitive typically means "to have just done" something. As A Kapila has written, this sounds awkward, and in common conversations, people tend to go for shorter constructions, pithier ones: Vous avez l’air fatigué d’avoir trop couru or some such… Vous avez l’air d’avoir couru… the latter one would be clear and succint and obvious