If you are talking to the person that manage the gym club, you should say :

Je souhaite m’inscrire au [cours/club] de gym
Je souhaite rejoindre le [cours/club] de gym
Je souhaite adhérer au club de gym

Saying “la gym” is not common, you may only say something like

Je fais de la gym

But you can’t say

Je veux rejoindre la gym

Pour te rendre l’existence plus simple et te permettre de choisir toi-même l’expression que tu jugeras la plus appropriée, voici une liste des différentes traductions proposées ainsi que leur sens exact en lien avec ta question:
joindre, unir, se joindre, adhérer, devenir membre, s’inscrire

• joindre : Signifie davantage d’entrer en contact avec le gym, par exemple, en les appelant pour obtenir de l’information sur leurs forfaits.
• unir : N’a absolument aucun lien avec l’action que tu as en vue, c’est un mot qui s’applique davantage aux objets, ou lorsqu’on parle d’un pacte, une union civile, le fait d’unir deux personnes dans un mariage.
• se joindre : S’emploie dans le sens de te joindre à un groupe de personnes qui vont s’entraîner. Donc, non-applicable à l’action que tu envisage.
• adhérer / s’inscrire : Ils sont tout indiqués dans ton cas, car ils vont dans le sens de ce que tu voulais dire. Les deux peuvent s’employer alternativement, car il n’y a qu’une différence étymologique dans leur significations.
• devenir membre : C’est le motif de ton adhésion ou inscription au gym. Je m’inscris/adhère au gym afin de devenir membre.

Donc le verdict c’est que les mots les plus appropriés sont: adhérer / s’inscrire, par définition.

Pour ce qui est de la phrase spécifique que tu voulais formuler:

Je voudrais s’inscrire au gym, s’il vous plaît.

Étant donné que tu parles de ton intention de t’inscrire toi-même, m' devra être utilisé à la place de s'.

Je voudrais m’inscrire au gym, s’il vous plaît.

En espérant t’avoir mis sur une piste de réflexion intéressante.