Je ne pense malheureusement pas qu’il y ait de règle stricte en français. Chacun comprend cette phrase comme il le veut. (Le français n’est pas du lojban).

Pour ma part, Fermeture du 8 au 12 aout est inclusif et Fermeture entre le 8 et le 12 aout est exclusif.

Le gérant du magasin précise pour qu’il n’y ait pas d’ambiguité. J’ai même déjà vu fermeture du 8 au 12 aout, réouverture le 13.

L’utilisation de inclus permet juste de faire sauter l’ambiguïté sur le dernier jour. Ça a le mérite d’être clair ainsi.