Le mot dame est beaucoup utilisé dans les jeux de manière non interchangeable avec femme: aux échecs, dans les jeux de cartes et bien sûr au jeu de dame.

Un cas où le mot "dame" revêt toute sa noblesse (pas nécessairement dans le sens aristocratique) est :

une grande dame

alors qu’avec "une grande femme" on pensera à la taille.

Quand "lady" est accompagné d’un adjectif ou d’un complément du nom, on le traduit souvent par "dame"

The first lady ( La première dame, femme du Président)

The Iron Lady ( La Dame de Fer, surnom de M. Thatcher)

On ne peut pas remplacer “femme” par dame quand:

• on parle de femme au sens d’épouse SAUF dans certains contextes aristocratiques particuliers (notamment quand on est un domestique et qu’on ne sait pas si il s’agit vraiment d’une épouse)

• dans l’expression “une recette de bonne femme”, qui devrait étymologiquement se dire “une recette de bonne fame”, même racine que “fameux”.

• quand on ne parle pas d’une personne spécifique, mais de femmes en général, ou juste d’un aspect féminin: “il a des mains de femme”, “les femmes sont toutes des hystériques”, “j’en boirais cinq à six bouteilles, une femme sur les genoux”.

On ne peut pas remplacer “dame” par “femme” quand:

• On évoque un titre: “la première dame de France”, “la Dame du Lac”

• on fait référence aux pions, ou à la figure du jeu de cartes (ou aux interstices neutres du jeu de go)

• on utilise l’interjection vieillote: “dame!”

• on parle d’une personne qu’on considère comme d’un rang supérieur (à cause de son âge ou de sa catégorie sociale): “une dame de la haute société”, “dis bonjour à la dame !” (utilisé pour apprendre la politesse à un enfant), “ces dames et ces messieurs sont-ils à leur aise ?”

• dans l’expression “gente dame”.

Subjectivement parlant, je dirais que l’emploi des deux termes implique une subtile nuance dans la langue.

Par l’emploi de femme , on entend plus quelque chose d’indéfini et se rapportant de manière générale à un féminin.

Par l’emploi de dame, on se rapporte plus généralement à un titre, ce qui invoque d’emblée une certaine ombre de respect supplémentaire par rapport à l’emploi de femme.

Dans l’exemple que vous employez :

Cette femme vous a demandé…

J’aurais tendance à dire que vous devriez accéder à sa requête au nom du droit universel, des droits de l’homme etc.

Tandis que

Cette dame vous a demandé

Ou mieux encore, plus fréquemment employé avec dame

La dame vous a demandé

M’inspire plutôt l’invocation d’une déférence nécessairement due plutôt qu’un droit.