Salut ^^

J’ai trouvé ça :

1 : the act of engrossing. 2 : the state of being absorbed or occupied : preoccupation.

Pour le p’tit 1 ça veut dire : "the final version of a legal document, especially a deed or statute."

Je pense c’est les deux seules traduction de ce mot

En français on dirait, comme ce titre l’indique:

Le texte définitif du projet de loi Gazier

article dans Le Monde

Le texte définitif du projet de loi.

et aussi ici: un autre article de presse

Ce qui coincide avec le sens de l’anglais donné dans la question:

Engrossment is the formal reprinting of the bill in the form upon which the chamber will vote final passage.

So, it means: the final form of a bill, here, an article in the impeachment procedure.

US Senate text explaining engrossment

Pour la phrase en entier, on dirait donc:
Je signerai le texte définitif de l’Article de [la procédure de] l’impeachment.

NB: la traduction d’impeachment est restée impeachment et se trouve comme procédure d’impeachment dans le Collins. C’est dommage puisque le sens est le même qu’empêchement en français.