Je vais contribuer avec le peu de chose que je connais et ma réponse ne fait en aucun cas autorité, comme quoi l’être humain ne peut aboutir qu’à des à-peu-près.

Pour commencer, examinons cette phrase :

J’ai beaucoup de mal à comprendre les théories de la mécanique quantique.

On veut dire par cette phrase que le locuteur a beaucoup de difficulté à comprendre un sujet ou un thème.

J’ai compris ce passage mais j’ai bien des difficultés à saisir la signification de la dernière phrase.

Ici, c’est plus complexe. En effet il y a juxtaposition de deux énonciations quasi-opposées : le locuteur comprend le thème en question mais admet néamoins certaines difficultés.

« Bien de » a une nuance plus subtile (comparée à « beaucoup de ») et vient pour contrarier un pré-supposé. Il faut lire entre les lignes :

Cela n’apporte rien aux hommes et aux femmes qui ont donné leur vie et continuent de faire la fierté du Canada à bien des égards.

(exemple extrait de http://www.linguee.fr)

Tout se passe dans la tête de l’interlocuteur qui essaie de réfuter et d’attaquer son interlocuteur, prêt a nier un énnoncé, en confirmant sa véracité.

J’envisage ce dialogue pour expliquer ça :

— Mais qui utilise encore de nos jours les montres de poches?

— AH ! et bien monsieur, figurez vous qu’il y’a bien des gens qui utilisent encore les montres de poche bien qu’ils auraient pu se contenter de consulter l’heure sur leurs smartphones.

(J’ai fait exprès pour la redondance du mot « bien ».)

Bien des fois je t’ai averti d’éviter ce comportement.

Ici, c’est comme pour dire « attention, tu as été averti au moins une fois, tu ne peux pas nier cela » : « bien de » apporte de l’emphase, une insistance sur un fait.

En outre comme il a été signalé dans les commentaires sur cette page, l’usage de « bien de » est restreint et d’ailleurs son usage est d’un registre soutenu (littéraire).

J’ai songé bien des fois.

(Titre d’un poème de François Porché.)

On peut lire dans un journal quotidien :

Cela a suscité et continue encore à susciter bien des interrogations […]

Finalement, il faut utiliser « beaucoup de » quand il s’agit de focaliser sur le grand nombre et laisser « bien de » à des cas spécifiques, surtout pour insister sur le fait que telle ou telle chose a eu lieu.

Il y a une discussion similaire (bien des gens / beaucoup de gens) sur cette page.

Note:

En rédigeant ces lignes je me suis rendu compte que « bien+de+… » pourrait être interprétée de deux façon dans certains cas. L’ambiguïté est quelque chose d’intrinsèque aux langages naturels. Un exemple :

J’ai bien du mal à terminer cet exercice.

Ici, « bien » pourrait être relié à « je » pour confirmer un fait.

J’ai bien du mal.

(avoir ou ne pas avoir de mal)

On peut aussi relier « bien » à « du mal ».

J’ai bien du mal.

pour focaliser sur l’intensité du mal.

(anecdotiquement bien et mal sont antagonistes…)

Executive summary:

• There is a grammatical difference: bien is followed by a partitive article (singular or plural) whereas beaucoup is followed by the preposition de.
• There is a difference in register: bien de is rather formal, whereas beaucoup de is neutral.
• There is no clear semantic difference.

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Grammaticalement, bien de et beaucoup de se construisent différemment. Bien est suivi d’un article partitif (singulier ou pluriel) et d’un nom, tandis que beaucoup est suivi de la préposition de et d’un nom.

bien du plaisir / beaucoup de plaisir
bien de la peine / beaucoup de peine
bien des choses / beaucoup de choses

On peut aussi utiliser bien comme adverbe pour qualifier un adjectif ou un adverbe ; dans ce cas on ne peut pas utiliser beaucoup, mais très. Par contre, avec un comparatif ou un superlatif, c’est beaucoup qu’on utilise.

bien grand / très grand
bien souvent / très souvent
bien plus loin / beaucoup plus loin
bien trop loin / beaucoup trop loin

Il y a quelques tournures dans lesquelles l’adverbe bien peut être utilisé mais les adverbes beaucoup et très doivent être remplacés par un adverbe ou une tournure plus spécifique.

bien après / longtemps après
bien meilleur / largement meilleur
bien davantage / beaucoup plus
bien des fois / de nombreuses fois, souvent (beaucoup de fois est possible mais moins idiomatique)

La locution bien de … est d’un registre soutenu, tandis que beaucoup de est neutre. Utiliser bien de à l’oral peut paraître affecté en dehors de quelques expressions figées.

Sémantiquement, la différence entre bien de et beaucoup de est bien faible, si tant est qu’il y en ait une. Le Trésor de la langue française les qualifie de « (quasi)-synonymes ». Sur le fil de discussion sur Word Reference cité par jihed gasmi, certains contributeurs voient une nuance : Montaigne explique que

“Il s’est donné bien du mal” peut impliquer l’idée de superflu, éventuellement d’insuccès, alors que “il s’est donné beaucoup de mal” mettrait plus l’accent sur l’opiniâtreté.

Pour ma part, je ne perçois pas du tout de telle nuance. Je ne vois dans ces deux phrases qu’une différence de niveau de langue.

Entre bien + adj./adv. et très + adj./adv., il y a une nuance plus marquée : bien est un peu plus vague que très, il peut être moins fort. Par exemple, « il est bien brave » est plus un intensifiant du fait qu’il est brave que du niveau de bravoure, autrement dit une insistance sur le fait qu’il est brave, tandis que « il est très brave » précise que le niveau de bravoure est élevé.