The gérondif is built with prepending the preposition en to the participe-présent.

It has all the characteristics of an adverb. It is linked to a verb and provides a piece of information that is close to it.

On the other hand, the participe-présent is linked to a nominal group and is a verbal form, it introduces an action.

The nuance is sometimes tenuous.

In your first sentence, both actions are only loosely coupled so the participe-présent is used. Using en mangeant is possible, even more in spoken French, but that might imply she had to stop walking when done eating.

The second sentence:

En passant par cette porte, on est arrivé avant les autres.

means:

Because we passed through that door, we arrived before the others is .

but:

Passant par cette porte, on est arrivé avant les autres.

would mean:

While passing through that door, we arrived before the others.

There might be no relationship between the fact they passed through that door and the fact they arrived first.

In the third sentence, elle est partie en disant… is strongly linking both verbs. She left and slandered in a single action.

The last sentence is more tricky but is absolutely correct.

Ayant bien vendu sa maison

is something that happened once but

elle était presque riche

is a state that lasted a long period of time, so the coupling is weak.

Should we want to use the gerund, we can can replace the second part with a form that is consistent with it:

En ayant bien vendu sa maison, elle était devenue presque riche

where both actions are linked and can be merged in a single event.

Here is another example from the OQLF where the gerund is also unused, this time because the first action is long lasting so cannot apply to the second action which is discrete :

S’ennuyant au travail, elle a décidé de reprendre ses études.

To go further, you can read an interesting article by Marie-Pierre Escoubas-Benveniste comparing the respective usage of the participe présent and the gérondif in spoken French vs written French.

Usages du gérondif et du participe présent en français parlé et écrit : étude comparée basée sur corpus

Here is also a web page in English about the French present participle.

Il faut tout d’abord une revue de la grammaire dans ses essentiels pour toutes les formes grammaticales que la question implique ; seulement ensuite devient-il plus aisé d’essayer de fournir une explication.

I

(TLFi) II. [Analyse sém.]
C. [En introduit une forme en -ant pour former un gérondif fonctionnant comme un compl. circ.]

• [de moyen] C’est en forgeant qu’on devient forgeron.
• [de temps] Écoute, dit Dubreuilh, tout en le soignant, essaie donc de le cuisiner .
• [de manière] Malheureux les conscrits Devant le stand de tir Visant le cœur du monde Visant leur propre cœur Visant le cœur du monde En éclatant de rire. (PRÉVERT, Paroles, 1946 p. 223)

Le site du reverso explique ceci ;

Le gérondif est un mode qui se forme avec le participe présent (formes en -ant) précédé de en. Il est employé dans la fonction de complément circonstanciel.

• Il parle en dormant (= pendant qu’il dort).
• Nous avons appris la nouvelle ce matin en arrivant.

L’encyclopédie libre dit ceci ;

Hérité du gerundium latin, le gérondif est une forme verbale. En français, il est formé comme un participe présent précédé de la préposition en.

Son sujet étant toujours le même que celui du verbe conjugué, le gérondif ne peut jamais être le centre d’une proposition.

Le gérondif a un double sens : verbe et adverbe. Comme l’adverbe, le gérondif a une fonction de complément circonstanciel. En tant que verbe, il donne des fonctions spécifiques à d’autres éléments de la phrase. Il est utilisé pour indiquer la simultanéité d’un fait qui a lieu dans le cadre d’un autre fait.
Exemple : En rentrant, j’ai croisé mon voisin.

En français, le gérondif est une forme verbale invariable, composée du participe présent précédé de la préposition en, employée comme complément circonstanciel du verbe principal.

En français moderne, le gérondif est une des trois formes verbales en -ant. Les deux autres sont l’adjectif verbal et le participe présent.

En français il existe deux temps pour le gérondif. Ainsi, le français forme sur le verbe « travailler » au gérondif :

en travaillant : gérondif présent ;

en ayant travaillé : gérondif passé.

Chacun possède une seule forme verbale, invariable.

La BDL
stipule la particularité suivante de l’usage ;

Pour des raisons de clarté, le participe présent ou le gérondif dont le sujet est sous-entendu doit en principe renvoyer au sujet de la phrase (ou de la subordonnée) dans laquelle il s’insère. Notons que ce participe présent ou ce gérondif peut être employé seul ou former le noyau d’un groupe de mots plus complexe.

II

Voici ce que dit l’encyclopédie libre sur la proposition participiale, autrement dit la construction grammaticale qu’entraine le participe présent ;

La proposition subordonnée participiale est une proposition qui n’est introduite par aucun mot subordonnant. Elle est séparée du verbe de la proposition principale par un signe de ponctuation (virgule, tirets ou parenthèses). Par ailleurs, elle est mobile dans la phrase.

• Le temps aidant, elle l’oubliera. / Elle l’oubliera, le temps aidant.

La proposition subordonnée participiale contient un verbe au participe passé ou présent et son thème (on ne peut parler ici de sujet), qu’il ne partage avec aucun autre verbe.

• L’hiver venu, elle fut démunie.
• Les grilles s’ouvrant, les clients se précipitent dans le magasin.

Dans l’exemple ci-dessus, le participe s’ouvrant a un thème, les grilles, à lui seul ; il ne le partage pas avec la forme verbale « se précipitèrent » !

• S’impatientant, le candidat perdit son sang-froid.

Dans ce cas, il n’y a pas de proposition subordonnée participiale, puisque le participe partage son thème avec le verbe de la proposition principale. C’est le candidat qui s’impatiente et c’est lui aussi qui perd son sang-froid.

Le thème précède le participe.

• S’ouvrant les grilles, les clients se précipitèrent dans le magasin.

Fonctions de la proposition subordonnée participiale
Elle peut exercer la fonction de complément circonstanciel facultatif de :

[cause] Toutes les indications étant fausses, nous nous perdîmes.
[temps] Le soleil se couchant, nous rentrâmes.

III

En se rapportant à l’information rassemblée dans « I » et « II » on peut considérer les choses sur une base plus claire.

A/ Tout d’abord, il faut ne pas confondre participe présent et gérondif et comprendre que la nature du gérondif, bien que fondamentalement verbale, est aussi adverbiale, d’où les notions de CC qui lui sont associées, CC soit de moyen, soit de temps, soit de manière.

B/ Secondement on doit s’apercevoir que la question est celle du choix entre le gérondif dont les catégories de fonction en tant que CC sont moyen, temps et manière, une proposition subordonnée participiale dont les catégories sur ce même niveau sont cause et temps, et un adjectif verbal.

C/ On peut maintenant essayer d’expliquer les différences.

phrase 1 La reine allait et venait, mangeant du pain et de la confiture.

Il ne s’agit pas d’une proposition subordonnée participiale parce qu’il n’existe pas de <<thème>> (autrement appelé « sujet sous-entendu ») et la forme verbale est du type « adjectivale apposée » ;

La reine allait et venait, en partie occupée à manger du pain …

Il n’y a qu’une subtile différence entre l’utilisation du gérondif et celle de l’adjectif verbal : dans le premier cas « manger » est l’occupation centrale, dans le second elle est accessoire.

• Je le lui ai dit, dans le passé, en parlant d’un autre problème. L’occupation centrale est de parler d’un autre problème, ce qui est dit (le) est incident à cet évènement.

• Je le lui ai dit, dans le passé, parlant d’un autre problème. L’occupation centrale est de dire quelque chose ; ce quelque chose peut être un autre problème.

phrase 2 En passant par cette porte, on est arrivés avant les autres.

Il s’agit d’un gérondif et la fonction est le moyen ; on veut insister sur le moyen qui a permis d’arriver avant. Si on supprime la particule, la construction est adjectivale parce le « thème » manque, (qui passe par cette porte ? on) ; on n’insiste plus sur le moyen, il n’y a plus qu’une apposition adjectivale ;

Passant par cette porte, on est arrivés avant les autres.

On peut se rendre compte de cela en ajoutant des éléments;

• Passant par cette porte et prenant tout notre temps, sans nous inquiéter, on est arrivé avant les autres. On suspecte beaucoup moins l’idée de moyen ; en fait elle ne doit pas exister, ni dans cet exemple « long » ni autrement.

phrase 3 Elle est partie en disant des choses agréables.

Le gérondif