« Laisser sans voix ». Par exemple : « apprendre la mort de son animal de compagnie m’a laissé sans voix. »

Edit : après la remarque de Benjol sur le fait qu’il manque l’idée d’être au bord des larmes, « la gorge nouée » me semble meilleur comme traduction.

In theory, pantois is the word, but I’ve never heard anyone actually use it.

Quand j’ai appris qu’il était mort, ça m’a laissé pantois.

ou

Quand j’ai appris qu’il était mort, j’en suis resté pantois.

More commonly, you’ll hear J’en suis resté sans voix, or maybe J’en suis resté bouche bée, J’en étais muet de tristesse, Je suis tombé sur le cul (very informal). See also the synonyms of pantois on its page; most are in use, in particular soufflé, sidéré, estomaqué.

EDIT: je viens d’encore en trouver un qui à mon avis convient vraiment mieux: bouleversé:

J’ai été bouleversé d’apprendre la mort de Jules.

If you want to stay close to the literal English meaning, you can use “suffoqué“.

It has the same literal meaning of loosing one’s breath and it also conveys the same emotional meaning as to choke up.

Edit
Actually, I just realised that Joubarc’s answer is also close to the literal sense of choke up because this is the original meaning of pantois in Ancient French (which is still alive in the English verb to pant from OFr pantoisier, precisely). In French you also have “pantelant”.

Another good one is “en avoir le souffle coupé”:

ça m’a coupé le souffle!!!

or

j’en ai eu le soufle coupé

Passing from the lungs to the stomach, you can say:

j’en suis resté estomaqué

A whole bunch of synonyms still, all of which inspired by unpleasant physical consequences provoked by the surprise:

• abasourdi => dumbfound;
• époustouflé => choked up;
• étonné => muted
• médusé => from the Greek Medusa who could turn you to stone if you crossed her gaze;
• pétrifié => petrified, same idea;
• stupéfait stupéfié => awe-inspired;
• ebaubis => made to stammer;

J’en suis resté coi n’a pas été encore proposé et je l’aime bien. Par contre il n’est vraiment plus d’usage courant.

“Elle est resté bouche bée“

The first word means mouth, but combined with “bée” — the French definition is:

1. la bouche ouverte, par admiration ou stupeur.

This would totally fit for hearing about your friend’s pet dying.

« J’étais retourné », ou « j’étais complètement retourné », traduit il me semble assez bien la combinaison de l’émotion avec les effets de stress, de silence, de tristesse et de larmes.

Stupéfait et interdit n’ont pas encore été proposés, alors je les rajoute pour la complétude de la liste…