I’d say “A pâte molle”, “A pâte dure” et “les bleus” but I’m not an expert.

Three ways is not enough, unless maybe from the milk origin: vache, chèvre, or brebis.

Wikipedia lists 10 groups (one of which being Italian).

Quleques façons de classer les fromages sont par exemple:

• le lait utilisé: vache, chèvre, brebis; lait cru ou pasteurisé

• la texture générale: pâte dure, pâte molle, pâte persillée; pâte crue ou pâte cuite

• la provenance géographique

• la durée d’affinage: fromage frais ou affiné

• la technique de fabrication: pâte pressée, filée, fondue

En général, quand on commande un plateau de fromages chez le crémier, on s’intéresse d’abord au type de lait et au type de pâte, parfois la provenance pour faire découvrir une région à un invité ou pour rendre hommage à la sienne.