1. The first one would just be:

Je ne vais ni manger ni boire.

Rien is redundant but if you want to emphasize the fact you’ll eat/dring nothing:

Je ne vais ni manger ni boire quoi que ce soit.

Using both rien and ni would make an heavy double negation, i.e. a positive statement:

Je ne vais ni rien manger, ni rien boire. -> Despite what was expected, I will both eat and drink.

2. The first sentence is correct:

Je ne peux ni effrayer ni blesser personne.

You might also sligthly modify the second one that (literary) way:

Je ne peux effrayer ou blesser personne.

I

"Not […] or […] anything" has the following renderings.

• ni…ni…quoi que ce soit, ** ne rien […] et ne rien […]**, **rien […] ou […]

The first sentence is slightly wrong; here are correct forms.

• Je ne vais ni manger ni boire quoi que ce soit.
• Je ne vais rien manger et ne rien boire.
• Je ne vais rien manger ou boire.

The second second form, is correct: "Je ne vais rien manger ni boire.". A comma could be used after "manger" (in general after the first verb).

(1905) ne rien faire ni dire (1)
(1958)                                (2)
(2010)                                (3)
(1905) ne rien faire, ni dire

II

"Je ne peux ni effrayer ni blesser personne" est correct, c’est l’usage standard.

"Je ne peux effrayer ni blesser personne" est aussi correct, mais c’est l’usage littéraire, lequel est précisé dans I. A. 2. du TLFi.

Littér. [Ni est omis devant le premier terme coordonné] Ne … a ni b.
c) [Coordonne des verbes]
– Le soleil ne se lève ni ne se couche (Crèvecoeur, Voyage, t.2, 1801, p.118).
– Je n’ai demandé ni souhaité d’être député (Courier,Pamphlets pol., Au réd. Drapeau blanc, 1822, p.196).
– Dans l’auberge de l’Isola Bella, les auditeurs n’ont entendu ni su que ce que le narrateur a bien voulu leur confier (Gobineau,Pléiades, 1874, p.29).
– Nancy ne répond, ni ne bouge (Camus, Requiem,1956, 1repart., 1ertabl., p.824).