Oui, clair peut être un adverbe. Il n’est pas interchangeable avec clairement : il n’est pas forcément utilisable dans les mêmes contextes et n’a pas forcément le même sens. L’adverbe clairement signifie en général « d’une manière compréhensible » ou « d’une manière évidente », et son sens est à peu près indépendant du verbe. En revanch la plupart des usages de clair comme adverbe sont de la forme « [verbe] + clair » avec des sens plus ou moins idiomatiques, dans lesquels clair garde souvent un sens un peu plus proche de l’adjectif.

Par exemple, « voir clair » (qui ne prend pas de complément) peut signifier au sens propre « voir distinctement » (« je ne vois pas clair parce que mes lunettes sont sales ») ou au sens figuré « comprendre ce qui se passe » (comme dans la phrase de la question). On peut aussi dire « voir clairement », mais c’est plus rare ; ça a (quasiment ?) le même sens propre, mais au un sens figuré l’usage est un peu différent. On peut dire « je vois plus clairement ce qui se passe », ça a le même sens que « j’y vois plus clair », mais on ne dirait pas « je vois plus clairement » ou « j’y vois plus clairement » dans ce sens. On peut par contre utiliser clairement lorsque voir a un sens d’observation, mais au figuré : « avec les dernières révélations dans la presse, qui ont permis d’y voir plus clair sur les agissements des ministres, on voit clairement que le gouvernement avait menti ».

Le Trésor de la langue française cite plusieurs cas d’emploi de clair comme adverbe (chercher « adv. »). Par exemple « peindre clair » signifie faire un tableau qui représente beaucoup de lumière, alors que « peindre (quelque chose) clairement » signifie que l’on comprend facilement ce que le tableau représente. On peut dire « il fait clair » pour dire qu’il y a beaucoup de lumière (ou au contraire « il fait sombre »), alors qu’on ne peut pas utiliser clairement ou sombrement comme ça.