De façon assez littérale on peut utiliser le verbe « dégrader », pour le moins dans tous les cas cités en l’adaptant, comme pour la seconde possibilité (causer une dégradation); du point de vue de préserver le ton imagé de la phrase anglaise la possibilité suivante est intéressante : « prendre sa part de butin ».

Les problèmes de ces derniers mois ont dégradé sa santé et des ombres se cachent sous ses yeux.
L’aggravation de la récession a également causé une dégradation dans le sud du pays, où sévit aussi le chômage .

Les problèmes de ces derniers mois ont pris leur part de butin sur sa santé et des ombres se cachent sous ses yeux.
L’aggravation de la récession a également pris sa part de butin dans le sud du pays, où le chômage sévit.

The literal translation of prendre un péage doesn’t make sense indeed. An idiomatic and semantically close French expression can be faire payer un lourd tribut but it is a little stronger and hard to use it with your first example.

With both of them, to take a toll might be translated by affecter:

Les problèmes de ces derniers mois ont affecté sa santé et des cernes sont visibles sous ses yeux.

L’aggravation de la récession a également lourdement affecté le sud du pays, où le chômage est omniprésent.

L’aggravation de la récession a aussi fait payer un lourd tribut au sud du pays, où le chômage est omniprésent.

Je le traduirais comme « ça s’est resenti sur sa santé » ou « ça a porté atteinte à sa santé ». Je ne peux pas penser à quelque chose de plus proche.