Soi renvoie à une personne indéterminée, générique, alors que lui renvoie à une personne déterminée, précise, et au masculin.

« Faire ses affaires » ne précise pas la personne et doit donc être suivi de « soi-même ».

La phrase de MSN

Le gendarme, qui voulait “faire justice soi-même” …

est douteuse mais acceptable grace à la présence des guillemets qui renvoient à une formule générique. Sans les guillemets, la forme correcte est:

Le gendarme, qui voulait se faire justice lui-même…

"Soi-même" est indéterminé. Une traduction assez proche en anglais est "oneself".

Par exemple, quand on met des verbes à l’infinitif:

Se faire à manger (pour) soi-même = To cook for oneself

Se blesser soi-même = To injure/hurt oneself

Les infinitif sont le cas typique, mais il est plus utilisé que oneself en anglais. Par exemple :

meuble à monter soi-même = self-assembly furniture

En anglais, on va souvent ajouter un sujet plutôt que d’utiliser "oneself":

Pour y arriver, il faut être en paix avec soi-même =(lit.) To do that, one has to be at peace with oneself

Mais un anglophone dirait plutôt :

To do that, you have to be at peace with yourself

Ça ne veut pas dire que "soi-même" se traduit par "yourself" pour autant, juste quand dans ce genre de phrase, on préfèrera utiliser un sujet en anglais quand et rester indéterminé en français.

On utilise soi-même avec un verbe à l’infinitif et lorsque le sujet est ‘on’ et donc indéfini.