A ma connaissance, la nuance dans l’usage est la suivante :

• on soutient une autre personne,
• on soutient une thèse, ou la position de quelqu’un d’autre sur un sujet.
• on soutient que quelque chose est ainsi ou autrement (= affirmer que).

En revanche, on étaie :

• un propos
• une affirmation
• un argument

d’autre part, il me semble que l’on n’étaie généralement pas les propos d’une autre personne.

La nuance de sens est la suivante :

• dans le cas de soutenir, on porte/supporte un édifice (qui sinon s’écroule)
• dans le cas d’étayer, on renforce/solidifie une construction/un ouvrage qui tient déjà debout.

Je pense que ça se retrouve au sens métaphorique : les choses que l’on étaie sont plus élaborées que celles que l’on soutient.

Il y a beaucoup de différences entre les deux.

• Étayer s’emploie surtout à l’infinitif, soutenir se conjugue couramment.

• Au sens propre, étayer implique l’utilisation d’étais ou de quelque chose qui y ressemble alors que n’importe quoi peut soutenir n’importe quoi. On n’étaye le plus souvent qu’une chose alors qu’on peut soutenir une animal ou une personne. De plus, étayer correspond plus une solution intentionnelle et provisoire, alors qu’un soutien peut aussi être accidentel et pérenne.

• Au sens figuré du contexte de la question (arguments), les deux verbes ne s’emploient pas vraiment de façon interchangeable. Soutenir introduit une opinion alors qu’étayer consiste à apporter les arguments qui expliquent pourquoi on la soutient.

Il soutient que la terre est plate.

Il étaye que la terre est plate.

Il étaye ses arguments.

Il soutient ses arguments. (?)