Je pense que tracer est bien le verbe que vous cherchez :

Suivre, par des technologies diverses, les déplacements de quelqu’un
ou de quelque chose : Tracer des noctambules, un téléphone
portable.

[ Dictionnaires français Larousse, extrait de « tracer » ]

Dans le monde professionnel, on trace les échanges avec le client par exemple, afin de pouvoir régler les litiges en cas de désaccord futur. Ceci permet de démontrer, grâce à la trace [écrite] que c’est bien ce qu’a demandé le client.

On va également parler de tracer les actions d’un utilisateur sur un site, c’est à dire enregistrer en base de donnée les pages vues ou envoyer un mail confirmant la commande par exemple.

Un complément au sujet de la « traçabilité » (emprunt à l’anglais, 1996, ISO : 2000; par ex. avec ref. à diff. standards). On parle de la capacité de pister, de la possibilité d’identifier l’origine d’un produit, d’une donnée, etc. à n’importe quelle étape du traitement ou de l’ « [a]ptitude à retrouver l’historique, la mise en œuvre ou l’emplacement de ce qui est examiné. » (Termium, aussi GD). Il ne s’agit pas de quelque chose qu’on « effectue », mais plutôt de ce qu’on « assure », de ce que permet la mise en œuvre de différentes solutions; un objectif. Quant à tracer, on a dans la définition l’emploi de tracer/retracer l’historique (de qqc.); ça diffère de l’idée de suivre à la trace/suivre la piste, ou de celle de suivre le déplacement d’une commande qu’on utiliserait avec tracer.¹ En informatique, tracer et traçage dans le sens du déroulement/dépistage/suivi à la trace, avaient pris beaucoup de place avec le programme semble-t-il. En comptabilité/gestion, on des termes spécialisés avec faire un suivi des commandes (2), des stocks en temps réel, et l’audit d’éléments probants. Généralement, avec différents exemples de verbes, on a « garder des traces de » qui relève de l’impression psychique; « conserver la trace », de l’empreinte d’un état antérieur sur un objet passif; et « retrouver des traces », le plus souvent avec matérialité, pour la marque qui témoigne de l’antériorité de qqc.. Mais le terme traçabilité vise une idée bien spécifique; qu’on sache que l’ « utilisateur A a effectué un achat le JJ/MM/AAAA » correspond à mon avis bien concrètement à connaître la date du placement/traitement d’une commande.

Selon le contexte, il peut s’agir de documenter les transactions, de (conserver etc.) l’historique (complet/de certaines) commandes (du client), du placement à l’expédition/à la livraison; ou il peut s’agir littéralement de traçabilité et on veut permettre d’ identifier l’origine, souvent d’un produit; dans d’autres cas on veut permettre/assurer techniquement un suivi du déplacement de quelque chose, tracer, ou on a aussi l’idée plus usuelle de moyens qui permettent éventuellement de retrouver la trace de qqc., tel que nous l’apprend la réponse. On n’est pas à court de choix.

Le terme « traçabilité » correspond au verbe « avoir la capacité d’avoir son origine identifiée/repérée/retrouvée ».

_{1. J’ai noté qu’en anglais on voit à titre d’exemple que « to trace a call » c’est trouver d’où vient un appel; en identifier l’origine. Dans le contexte des télécommunications (géolocalisation) on retrouvait pour « tracing » des trucs comme repérage, dépistage, et l’historique.}