On ne dit pas au bout de chemin mais « au bout du chemin ».

De même qu’on peut très bien dire « au bout du souffle » mais pas au bout de souffle.

Par ailleurs, il n’y a pas de différence de genre entre les deux expressions.

Les expressions à bout et au bout ne signifient pas la même chose.

Être au bout signifie être à la fin de quelque chose, concrètement ou figurativement. Exemples :

sa maison se trouve au bout du chemin

il est arrivé au bout de sa réflexion sur son futur professionel

Être à bout de quelque chose signifie qu’on a épuisé une ressource. Exemples :

Il est à bout de souffle (= il n’a plus de souffle)

Je suis à bout d’idées (= je n’ai plus d’idées)

On peut aussi dire simplement être à bout sans complément, ce qui signifie qu’on n’a plus de patience ou de force pour accepter quelque chose. Exemples :

Je suis à bout, je vais craquer !

Il m’a poussé à bout, alors je me suis mis en colère