The meaning is the almost the same.

Par bonheur and Par chance are totally interchangeable, though Par bonheur is less frequent.

Heureusement can be used a way the two other don’t :

• Expressing relief (soulagement) rather than just luck or an unexpected positive event :

Tu as fini par arriver, heureusement sinon j’aurais été obligé de partir!

• Contruction with "que"

Heureusement que tu es venu, je ne connaissais personne avant que tu arrives!