Bon alors… on va commencer par dégager le à plus contraction très contemporaine du à plus tard très correct et qui signifie ni plus ni moins que… ce qu’il veut dire.
Les deux autres ne signifient pas précisément la même chose. Sans compter que cela dépend… dans quelle région de la francophonie on les entend.

Le tout premier historiquement: tantôt – (XIIe) qui signifie d’abord aussitôt et qui, usuel jusqu’au XVIIe va, par extension, prendre le sens de prochainement.
Ce sens est resté usuel en Belgique et au Québec.
L’usage moderne du français hexagonal le réserve à la même journée voire l’après midi. (Sens attesté dès le XVIIe) Mais son emploi devient connoté populaire.

Bientôt est lui beaucoup plus tardif. Attesté au XVIe. Au sens de promptement. C’est bien à dire, contrairement à tantôt, sans valeur de futur.
Ce sens est maintenu dans l’usage soutenu. (=> dans l’usage soutenu, à bientôt != à tantôt. à bientôt = à tout de suite.)
Alors que le sens courant prend, à partir du XVIe, le sens d’avenir proche à partir de maintenant.
La locution à bientôt est attestée au XIXe (DHLF dixit).

Voilà pour le détail, en résumé et… sous réserve de confirmation par mes cousins et amis d’outre… Quiévrain ou Atlantique… je dirais que :
à partir du XIXe, dans le français hexagonal courant, en Belgique, au Québec, à tantôt = à bientôt = à plus tard = à… dans un avenir proche.
En français hexagonal soutenu, à tantôt est évité au profit d’un à bientôt synonyme de à tout de suite.