Le Larousse dit qu’il y a une légère différence de registre, qu’"aucunement" est plus familier que "nullement." En termes de sens, ils sont totalement interchangeables.

(TLFi) nullement [Correspond à nul I A] Pas du tout, en aucune façon. Synon. aucunement.

(TLFi) nul I A I. − Adjectif
A. − Adj. indéf. (Ne) … nul(l)e + subst.[Accompagnant un subst. en position suj. ou en position compl.; marque une exclusion totale] Pas un. Synon. aucun.

(TLFi) aucunement II.− Usuel. [Construit avec ne ou sans] Nullement, du tout, d’aucune manière.

Les deux sont employés en corrélation avec « ne » à un temps personnel ou non. (ngram). Cependant la tournure impersonnelle « Il n’est nullement… » est beaucoup plus courante et apparemment c’est le choix préféré dans la langue parlée ; « Il n’est aucunement » se trouve plus dans la vieille langue et a quelque chose de plus formel; néanmoins on l’écrit toujours. De nos jours les deux sont beaucoup remplacés par « pas du tout ».

• Il n’est nullement question de passer par là.
• Il n’est pas du tout question de passer par là.

Les deux sont employés en corrélation avec « sans ». (ngram)

La seule différence semble se trouver dans l’usage; « nullement » serait plus moderne.