Le choix de faire la liaison dépend de l’interprète / locuteur et il n’y a à ma connaissance aucune obligation de faire les liaisons facultatives selon le type de texte. Pour la poésie et la chanson c’est avant tout une question de rythme et de nombre de syllabes qui détermine la diction.

Bonjour,

Les chansons ne respectent pas toujours la langue française (“Nous nous en allerons” – Renaud / Dès que le vent soufflera), souvent pour des effets de style.
Même si on n’en est pas à ces extrémités dans “Le pont d’Avignon”, il faut aussi prendre note que cette chanson daterait de la fin du Moyen-Age, d’après Wikipédia… peut-être qu’à cette époque, on faisait moins les liaisons, et la chanson se serait transmise de bouche à oreille ainsi…
De manière générale dans les comptines pour enfants, il est fréquent d’avoir des paroles assez différentes d’une version à l’autre. Je présume qu’elles ont évolué au fil des âges…