En supplément de tout ce qui a été dit, je viens apporter mon idée.

C’est probablement tiré par les cheveux, mais on pourrait imaginer qu’une note de la Lyre ressemblerait au son produit par une pièce qui tombe dans un récipient.

On aurait donc associé tire (tirer une corde puis la relâcher, pour produire un son sur un instrument à cordes) et Lyre (l’instrument en lui-même), et l’association des deux mots aurait donné tirelire.

J’ai mis l’emphase sur idée puisque je ne suis ni un étymologiste, ni un expert en histoire.