[ni locuteur natif ; ni spécialiste]

Je crois que c’est un cas appartenant au dit “nous de majesté” (voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nous_de_majesté)

LE LION MALADE ET LE RENARD

        Que Sa Majesté nous dispense :
        Grand merci de son passeport.
        Je le crois bon; mais dans cet antre
        Je vois fort bien comme l'on entre,
        Et ne vois pas comme on en sort.

https://en.wiktionary.org/wiki/nous_de_majest%C3%A9

nous de majesté m (uncountable)

royal we, majestic plural (plural used by a sovereign) Nous, Lion,
Roi des Animaux, décrétons : Afin que la paix règne parmi tous nos
sujets, il sera désormais expressément défendu de se manger les uns
les autres. (We, Lion, king of the beasts, decree: so that peace may
reign, our subjects are forbidden to eat each other.) (The Tale of the
Fox, 1930)

NB

Voir aussi les commentaires de @aCOSwt

Le renard est ici (contrairement à l’autre fable) le Duc de Bourgogne.
(cf haut de page droite du lien de l’OP) (qui ne crachait pas sur le
nous de majesté)

and

On a encore une confirmation en toute fin : “Prince, ma Muse tient
tout entier ce projet : Vous m’avez donné le sujet, Le dialogue, et la
morale.”

Une autre¹ interprétation que le nous de majesté, considérant que le thème de la fable est :

Certain Renard voulut, dit-on,
Se faire Loup.

serait que notre cher indique que le renard parle au nom d’un groupe, sous entendant que lui et le loup font partie de la même communauté. Ce nous inclusif signifierait alors :

Tu es des nôtres, je suis des tiens.

Une source allant dans le même sens :

Marcel Gutwirth, Un merveilleux sans éclat : La Fontaine ou la poésie exilée, 1987

¹ _{Pas nécessairement en contradiction avec elle. La Fontaine a très bien pu jouer sur les deux sens, les associer.}

À titre de complément, on peut aussi observer que l’emploi de notre permet d’avoir l’alexandrin. D’autre part, ça m’a fait penser que dans la prière chrétienne Notre Père on trouve aussi ce prototype pluriel (Notre Père…) singulier (ton nom…, quoique aussi votre mais ce n’est pas directement un phénomène linguistique ; par ailleurs pas d’adjectif au singulier avec Je vous salue Marie) autrement que dans le contexte de la familiarité (Père/Marie, cher) ; qui sait si de La Fontaine ne s’appuie sur le tour pour y connoter flatterie ou « soumission », thèmes familiers chez cette créature. Ailleurs en commentaire on a évoqué le sous-groupe et l’ellipse présumée du nom « ami », une variation intéressante sur un thème étayé dans une autre réponse. Similairement, personnellement j’interprète ici l’emploi de l’adjectif possessif au pluriel comme une forme de déférence envers l’auditoire permettant de centrer l’attention de tous sur le sujet, dans une fable où le narrateur s’était exprimé très directement tout juste avant, de surcroît à quelqu’un d’autre qui fait partie de l’auditoire à qui l’on propose cette histoire…