Tout d’abord on peut résumer avec deux phrases à la fin de la rubrique « puits » au DHLF (voir généralement TLFi, Littré) :

[…] Ainsi puits serait un exemple de ces formes hybrides dues au
bilinguisme de la France du Nord après l’invasion des Francs. La
graphie actuelle puits (XVIe s.) réintroduit un -t- étymologique pour
éviter l’homographie avec puis.

[ Dictionnaire historique de la langue française, A. Rey, ed. Le
Robert, « puits » ]

On situe premièrement puz (v. 1112), puiz (v. 1120) et puis (v. 1131)¹. On affirme que le « t » réapparaît formellement au XVIe siècle, pour contrer l’homographie avec puis.² Il s’agit aussi d’un cas particulier où, possiblement, un mot latin se transporte en ancien haut-allemand °putti, vers le Francique, lui aussi °putti, puis enfin au français.

Mais il y a d’autres explications et M. Rey partage une partie de son propos avec celui de M. P. Fouché, dans un contexte différent. Dans son article « De l’action dilatatrice du yod en gallo-roman » dans la Revue des langues Romanes (1968), celui-ci passe en revue (pp.28-42) plusieurs théories au sujet de l’origine de la voyelle radicale dans puits et traite de la différence entre le français et les autres langues romanes. Il rejette l’influence du francique °putti, optant plutôt pour une « dilatation conservatrice » sous l’anticipation d’un premier « y » combinée à l’action assimilatrice d’un autre « y » en contact, pour expliquer la préservation du « u » latin (en gallo-roman septentrional).³

_{1. Au La Curne de Sainte-Palaye (origines jusqu’à Louis XIV), on présente comme première citation à l’entrée « puis », l’œuvre de Philippe de Beaumanoir (1250-1296) Coutumes de Beauvaisis XXI, 27 (idem Littré) : “Si comme de lor moustiers refere et de lor caucies [chaussées] ramender, de lor puis et de lor gués maintenir“.}

_{2. Voir aussi, Larousse. Pour le « t », Littré donne comme deux premières citations Aubigné au XVIe. Autrement, aucun exemple à l’entrée au DMF (1330-1500) ne contient le mot avec un « t ». En reculant, au complément du Godefroy (IX-XVe), on a (la totale) puiz avec le sens qu’on lui connaît mais avec les graphies puz, puc, puucz, pois, putz, puch, puus, poez, pus, poiz, pouche, puch, puich, puxe, puys, puichz, pouys, et puis. Au dictionnaire, puit, pust renvoient à put (sale, infect); on a le puitier, Putearius, qui fouit le puits, puitier; on a putast, putet avec une acception particulière; puz renvoie à pui (puier, gravir; mettre en pui, élever en honneur [!]; société littéraire; contemporain puy, géo.). On peut observer aussi des formes du verbe poeir (pouvoir) similaires au mot puits.}

_{3. Cette phrase ne saurait rendre justice à son propos détaillé et je ne dispose pas de l’expertise requise pour le commenter et y extrapoler la raison exacte de la présence du « i », la réponse étant donc incomplète ; varia, voir aussi étymologie occitane, thesoc, roussillonnais, Fouché autre I, II, III; dict. langue d’oïl à puch, et pui – « pew » angl..}