À boire (ainsi que à manger) est un groupe prépositionnel qui a la particularité d’agir syntaxiquement comme un groupe nominal.

Je ne sais pas s’il s’agit d’une élision de quelque chose ou si l’étymologie est différente, mais si on le présume, justement, comme un variante de quelque chose à boire, la construction est assez limpide, d’autant plus que boire et manger font déjà partie les rares infinitifs qui se nominalisent directement.

Pour (tenter de) répondre aux questions supplémentaire, à boire/manger est une exception à la règle. Normalement un groupe prépositionnel ne peux jamais être un complément direct, point final (à cause de la définition même de complément direct). Ce n’est pas la présence ou non d’un groupe nominal qui fait la différence en dehors du cas spécifique qui nous intéresse.

La seule situation que je connaisse en français où un élément du groupe nominal autre que le nom vient affecter le verbe, c’est le cas des possesseurs de parties du corps, dans des constructions comme je me cogne la tête ou je lui rase la barbe. Je parle un peu plus de ce cas particulier avec liens à l’appui ici.

Un verbe peut requérir la présence d’un groupe prépositionnel, mais il ne s’agit pas alors d’un complément direct. Les anglais parlent d’oblique complements, mais je ne suis pas parvenu à trouver le terme équivalent en français. Un exemple est verbe aller, d’où le fait qu’on disent j’y vais ou je m’en vais (les pronoms remplaçant ici des groupes prépositionnels obligatoires).

Quand je parle d’infinitif qui se nominalisent, je parlent en effet des quelques cas qui s’emploient comme nom défini. Boire et manger sont les seuls que je connaissent, mais il y est possible qu’il y en ait d’autres. Ils ne s’emploient jamais qu’au singulier. Quelques exemples tirés du Trésor de la langue française:

• Il mettait toute son âme à bien soigner ce manger, dont les copains regardaient avidement la vapeur
• À toute heure du jour, des équipes d’ouvriers vont et viennent le long des cafés au front bas où l’on peut «apporter son manger»
• Je sens […] que je vais en perdre le boire et le manger.

De manière générale, c’est toutefois là un tour très recherché.

Intéressant. On m’a toujours enseigné qu’une préposition signifie que l’on est en présence d’un complément d’objet indirect (COI) et non direct (COD).

Direct ou indirect ?

Je me permets de modifier un peu l’exemple de la question originale.

Je donne à boire à mon ami.

Je donne quoi ? « À boire » → COD
Je le donne à qui ? « À mon ami » → COI

Ainsi que le dit Circeus, « à boire » se comporte ici syntaxiquement comme un COD en dépit de sa préposition.

L’explication

Mon premier réflexe a été comme lui de penser à une ellipse :

Je donne (quelque chose) à boire à mon ami.

Le COD est ici le groupe nominal « quelque chose à boire », avec « à boire » étant un groupe prépositionnel attribut du complément.¹

Wikipédia semble confirmer ceci :

Une préposition peut cependant apparaître par ellipse, sans avoir cependant de rôle introductif : dans je fais à manger, à manger est un COD – par ellipse de « quelque chose à manger ». La question portant sur l’objet du verbe n’est pas introduite par une préposition (« Que fais-je ? » et non « À quoi fais-je ? »).

Questions annexes

Nominalisation/substantif

… boire et manger font déjà partie les rares infinitifs qui se nominalisent directement. (Circeus)
Quand on dit des infinitifs qui se nominalisent, on veut dire qu’on peut les employer comme substantif, un peu comme je veux du manger … ? (Riguefort Ultraquaillette)

D’après le Wiktionnaire, il ne s’agit pas là d’un substantif, mais bien d’un nom commun selon la définition courante.

À savoir que l’exemple je veux du manger est intéressant puisqu’ici, le groupe qui doit jouer le rôle de COD est introduit par « du ». Il ne s’agit pas ici de la préposition « de » mais de l’article partitif « du » (je bois de l’eau, je mange du chocolat).

Deuxième commentaire

Est-ce que je dois comprendre de la réponse que dans ce type de construction, la présence d’un GN complément quelconque va toujours empêcher qu’un GPrep le suivant (expansion) d’être complément direct. La fonction ne déborde pas du GN ? Je ne connais que le complément d’objet direct; dois-je faire une nuance avec le complément direct en contexte. (Riguefort Ultraquaillette)

Si le GPrép est un complément du nom, il n’est pas complément d’objet en lui-même. Le complément direct sera GN + GPrép CdN, les deux ne seront pas dissociables (ou plus exactement, le GPrép se rapportera au GN et n’aura donc aucun rôle vis-à-vis du verbe ou du sujet).

Je pense que le plus simple pour savoir si on a un CO et s’il est direct ou non est d’utiliser les deux questions : Quoi ? (COD) À qui ? (COI)

Attention cependant à garder en tête que celles-ci ne s’appliquent que pour des verbes transitifs : dans « Elle est à tomber », elle est quoi ? « À tomber ». Mais le verbe est intransitif : ce n’est pas un CO mais un attribut du sujet.

Il existe également d’autres formes de compléments. Pour ne reprendre qu’un exemple de Wikipédia :

Je marcherai les yeux fixés sur mes pensées (Victor Hugo)

« Les yeux fixés » est un complément circonstanciel et « sur mes pensées » un GPrép se rattachant à ce complément.

Je ne suis pas certain d’avoir répondu à toutes les questions mais j’espère avoir aidé.

_{¹ Manque d’aisance de ma part ici : le GPrép expansion du GN fait-il partie du GN (comme un épithète) ou est-il un groupe complètement distinct ?}

_{Cette réponse se base sur celle de Circeus et tente d’intégrer des réponses aux questions de Riguefort Ultraquaillette en commentaire.}