Je crois que ce phénomène (de déplacement en chaîne des voyelles) est beaucoup plus commun en anglais qu’en français. De fait je n’en connais pas vraiment d’exemple en français actuel (quoiqu’on en trouve probablement au moment de la transition du latin au roman). Cela serait dû selon moi à deux différences structurelles entre les deux langues:

• Les voyelles anglaises sont non seulement plus “vagues” (c’est-à-dire que leur prononciation tend à être plus variable dès le départ, impression totalement subjective de ma part, je l’avoue !) mais aussi plus nombreuses que les voyelles françaises, et donc plus à risque, dès lors que la prononciation change, d’empiéter sur une autre voyelle. C’est d’autant plus vrai si l’on ne compare que les voyelles orales des deux langues (éliminant du décompte les deux à quatre, selon l’accent, voyelles nasales, qui ne peuvent empiéter sur les orales en français).
• La tendance naturelle du français, voire de l’ensemble des langues latines, tend non à “déplacer” les voyelles dans l’espace vocalique pour les garder distinctes, mais plutôt à accepter assez aisément leur combinaison, d’où une différence qui peut aller du simple au double entre les voyelles de différents dialectes : 17 en français québécois contre seulement 9 dans les dialectes du sud de la France où les nasales sont allophoniques et prononcées “à l’anglaise” (et d’ailleurs sont souvent transcrites –ang, –aing etc.).