Au LBU14 (Le bon usage, Grevisse et Goosse, ed. Duculot, 14^e, §586 d 2°) on explique que la boîte aux lettres a d’abord désigné la boîte qui reçoit le courrier destiné à l’acheminement, puis la boîte des destinataires. On dit que boîte à lettres est peu signalé mais qu’elle s’est vigoureusement répandue en France – et non en Belgique indique-t-on – surtout dans le sens de la boîte des particuliers. On note que le TLFi n’en traite qu’à son article sur à comme d’un néologisme avec la préposition sans article qui introduit un complément de destination ici : « Rare. À + subst. actualisé : l’assiette au beurre (pop.) la boîte aux lettres (néol. : boîte à lettres) la cruche au cidre (pop.) ».

Au DHLF (Dictionnaire historique de la langue française, ed. A. Rey, chez Robert) on observe l’« emploi critiqué et en recul », sans doute familier, de boîte à malle au Québec, par calque de l’anglais mail box. Pour la boîte à/aux lettres, personnellement je reconnais les deux mais ne saurais dire lequel est plus usuel pour moi. Je ne sais pas non plus ce qu’implique exactement l’affirmation au LBU en ce qui a trait à la Belgique ou à la Suisse. Par ailleurs voir aussi terminologie en informatique.

Généralement l’article défini sert à préciser le nom, et quand un nom a la fonction syntaxique de compléter un autre nom, et qu’il désigne la « destination d’un récipient », l’article est d’ordinaire omis (la boîte à bijoux) ; et maintenu, au figuré (le pot aux roses). On parle d’hésitations dans l’usage avec un cas comme la boîte à/aux lettres. (LBU14)

Personellement, ayant vécu en France et en Belgique, je dirais que ‘boîte aux lettres’ est bien plus commun que ‘boîte à lettres’.

En effet, les sites suivants ont l’air de favoriser cet usage aussi:

(Gouvernement français) https://www.data.gouv.fr/fr/reuses/trouve-une-boite/

(Poste canadienne) https://www.canadapost.ca/cpo/mc/personal/productsservices/send/letterboxes.jsf?LOCALE=fr

(Poste belge) http://www.bpost.be/site/fr/residential/letters-cards/receive/guidelines_mailbox.html

(Page Wikipédia) https://fr.wikipedia.org/wiki/Bo%C3%AEte_aux_lettres

On ne dit pas boîte aux chaussures. J’opte de prendre l’habitude de dire boîte à lettres.

Je suis d’accord avec ceci : “Généralement l’article défini sert à préciser le nom, et quand un nom a la fonction syntaxique de compléter un autre nom, et qu’il désigne la « destination d’un récipient », l’article est d’ordinaire omis (la boîte à bijoux)”

La boîte AUX (=à les) lettres implique que l’on devrait préciser de quelles lettres il s’agit. Par exemple : la boîte aux lettres de l’entreprise, la boîte aux lettres vertes, la boîte aux lettres venant de l’étranger…etc.
La boîte À lettres convient pour toutes les lettres, quelles qu’elles soient !

Personnellement, j’ai toujours utilisé cette dernière forme qui est la plus logique grammaticalement parlant.