Même si les significations de "gêne" et "inconvénient" sont proches, le mot "inconvénient" est généralement utilisé pour exprimer un jugement de valeur ou une préférence concernant les caractéristiques d’une situation ou d’un objet :

Parmi les inconvénients de la vie parisienne, on peut citer la pollution, les embouteillages et les gens grincheux.

Dans cet exemple, on comprend que vivre à Paris peut présenter certains désavantages par rapport à la vie en province.

En l’occurrence, les mots "gêne", ou encore "désagrément", ou même "dérangement" semblent donc plus appropriés.

Je tiens à m’excuser pour la gêne occasionnée.

Je tiens à m’excuser pour le désagrément causé.

Even if the meaning of "gêne" and "inconvénient" are close, the word "inconvénient" is mostly used to express a value judgement or a preference about the caracteristics of a situation or an object:

Among the drawbacks of parisian life are pollution, traffic jams and grumpy people.

Here we understand that life in Paris may have some disadvantages compared to life in a smaller city.

In this case, the words "gêne", or "désagrément", or even "dérangement" therefore seem more appropriate.

I want to apologize for the inconvenience.