Je me trouve hic&nunc un poil hasbeen pour répondre à votre première question. Et comme en plus elle ne m’intéresse pas… je la laisserai à d’autres.
Après…

• Pourquoi un poireau et pas une betterave ou une carotte :

Il me semble que l’on peut dire sans trop s’avancer que la visibilité de l’objet planté semble être une propriété… décisive ! non ?

Mais qu’on se rassure ! Le poireau ne détient pas le monopole dans les expressions de même sens tant on peut se trouver aussi planté comme un piquet, voire… ce qui m’arrivait quand je me faisais gronder par mes parents dont la bibliothèque était plus riche en références que le potager… : rester planté là comme un I. ³

Je dirais donc bien, pour commencer la réponse à la seconde question que l’objet de la plantation dépend beaucoup de… ce dont on dispose principalement en référence… ce avec quoi on est… bref ! familier quoi ! 😉
Pour commencer seulement car, pour entrer dans le détail :

A/ Poireauter appartient sans aucun doute au langage familier.

C’est bien la première fois que je m’autorise d’être aussi péremptoire dans un jugement catégorique et ce pourrait être osé sachant que les contours du langage familier ont beaucoup changé depuis 1880…

Ont beaucoup changé certes mais cela ne fait rien… toutes ¹ les études savantes portant sur le langage familier, d’il y a très longtemps à nos jours, malgré la définition de périmètres différents, retiennent poireauter / faire le poireau dans leur corpus de référence. ²

B/ Non ! Ce n’est pas la popularité du poireau ou son emploi argotique qui oriente le choix.

Enfin… pas immédiatement.

Benveniste distingue le sens sémantique du discours et le sens sémiotique de la langue. Eh bien la familiarité lexicale, elle vient d’une rupture, d’une cassure, d’une disjonction entre les deux. Jean Cohen parle d’impertinence du prédicat, je dirais d’une proposition absurde.
C’est, dans un premier temps, une dissonance cognitive entre le sens lexical de l’objet et les propriétés connues du sujet qui oriente le choix.

Or, en restant dans le cadre du vivant… que peut-on trouver de plus éloigné de l’homme qu’un… légume ? Et, dans le cas qui nous préoccupe ici d’un verbe de manière, c’est bien à dire dont le sujet accomplit le procès à la façon de, que trouver de plus… péjoratif ?

Bon… certains pourraient suggérer le règne animal… cochonner, canarder, fouiner, pigeonner, cornaquer… Oui ! Il est assurément riche en ressources familières ! Quoique… vous le noterez c’est tout de même significativement moins péjorant.

Car le côté péjoratif importe ici évidemment… d’autant… qu’on va balancer une seconde couche pour bien enfoncer le clou : le suffixe ! -oter (phonétiquement)
Pfffiuu ! C’est très péjo ça -oter en suffixe de verbe de manière. Plus ? peut-être peut-on trouver -ouiller / -oyer… mais… c’est souvent plus gentil.

Et là, quand on en est à suffixer -oter… on trouve quoi ? patatoter ? bof ! carotter ? c’est déjà pris pour autre chose, Betteravotter ? Bof !

Bref poireau… c’est assez commode en finale non ?

Ha… artichauter aurait aussi pu le faire ! (vite !… Copyright 2018 aCOSwt) 🙂

_{1 : Toutes ? Enfin… on dira beaucoup car… je l’avoue… je ne les connais pas toutes…}

_{2 : Parlant du cas général du lexique familier, on pourrait aussi s’amuser à un vulgaire comptage de la marque FAM. dans les PL et PR ed. 2002 (Pourquoi 2002 ? Parce que je m’y suis amusé et qu’après ça ne m’amusait plus) qui démontrerait une distribution semblable dans plus des 3/4 des cas (le quart restant étant principalement le fait de non-hexagonalismes et formes vieillies) alors que… alors que les lexicographes avouaient ne pas suivre des critères formels…}

_{3 : Sans compter l’emploi pronominal tant il m’arrivera, plus tard, à l’École de… me planter comme une buse ! 😉}