Gras indique ici que le r est prononcé en faisant vibrer la langue et la luette.

Cette vibration est associée à l’altération de la prononciation due à une langue épaisse, au sens propre ou au sens figuré. On retrouve peut-être ce même « gras » dans l’expression « toux grasse » par opposition à « toux sèche ».

Voir par exemple cette définition du dictionnaire de la langue française de Jean-Charles Laveaux (1828):