« Ensevelir / enfouir » appartiennent au registre plus élevé qu’« enterrer ». D’un autre côté, ils s’emploient aussi tous les trois (surtout les deux premiers) au sens figuré : « enfouir / ensevelir / enterrer mes sentiments ».

Avec « enfouir / ensevelir », l’accent est mis sur l’idée de mettre un mouchoir sur quelque chose, le plongeant assez profondément pour qu’il n’apparaisse pas.

Pour ce qui est des os qu’un chien met en terre ou d’autres petits objets physiques – quitte à être déterrés – « enterrer » est mon choix préféré.

… me semble-t-il.

Enfouir signifie « Mettre sous un tas de terre, de déchets ou d’autres objets ».
Enterrer signifie « Mettre sous la terre ».

On peut dire « Mon chien a enterré son os » ou « Mon chien a enfoui son os sous un tas de terre ».

Ensevelir signifie « Recouvrir d’un tas [de terre ou autre] ». Une avalanche ensevelit (elle recouvre les victimes).

• “ensevelir” means that you are on the ground,
  and something is falling on you.
  That is why you can be “enseveli” under an avalanche,
  but also e.g. under a wall.

• “enterrer” means to put under the ground.

• “enfouir” means to put in the ground with the intention
  of hiding it.

Listing up all possible uses of enfouir, enterrer and ensevelir, including figurative ones, would be beyond the scope of an answer here. You can get a taste of just how many meanings one of them can have at http://www.cnrtl.fr/definition/ensevelir for instance.

What we can say for sure is :

• No, ensevelir isn’t only used for avalanches – then again, words with such a specialized meaning are very rare.
• Ensevelir does not always imply a large amount of matter coming down on top of something, but if you want to emphasize the fact that the object or person gets completely covered under a large quantity of fluid matter, yes, chances are you will pick ensevelir.