D’après moi, “vachement” a une valeur quantitative plus forte que “drôlement”, en plus d’être d’un registre encore plus familier :

“Il est vachement intelligent”

est quasi équivalent à

“Il est drôlement intelligent”

mais permet de donner plus d’intensité.

Il existe cependant un cas où on peut utiliser “drôlement”, mais qu’on ne peut pas remplacer par “vachement” :

“Elle m’a regardé drôlement”

est équivalent à

“Elle m’a regardé bizarrement”

On décrit ici la manière et non l’intensité. Pour ce dernier, voici quelques exemples sur la définition du Larousse.

De nos jours les deux mots ont le même sens et se différencient par leur niveau de langue.

Drôlement fait partie du registre familier. Il est dérivé du nom « drôle » qui désignait une personne qui amuse, un bon vivant. De nos jours l’adverbe a perdu son sens propre : « d’une façon comique » et est employé depuis le milieu du XIX^e siècle pour signifier de façon singulière, imprévue, et de là comme adverbe d’intensité. On peut le trouver dans la littérature.

Vachement est d’un registre plus populaire. Son emploi comme adverbe d’intensité date de 1930, avant il était uniquement employé comme synonyme de « méchamment^* ».
Le dictionnaire du français non conventionnel (Jacques Cellard et Alain Rey) note que le mot s’est surtout répandu après 1960 et

est de loin l’intensif le plus employé (parfois le seul) par une génération entière, et largement accepté dans l’usage familier par la collectivité.

Je pense que les nouvelles générations ont trouvé désormais d’autres marqueurs d’intensité et que le mot est peut-être moins utilisé de nos jours qu’il y a quarante ans.

Il existe deux variantes de vachement :
vachtement et vachte

^{À noter que l’adjectif « vache » est encore employé de nos jours pour signifier, de façon familière, « méchant ».}

Vachement (énormément)

Drôlement ( étrangement )