Regarder en haut : diriger son regard au-dessus de l’horizon, ou lever le regard au-dessus de sa position actuelle ; pour en bas ce sera en dessous.

En haut désigne la zone la plus élevée d’un objet ou d’un espace ; en bas la moins élevée.

On emploie souvent en haut (ou en bas) pour signifier l’endroit où l’action va se porter, ou pour signifier une position symbolique :

• « En bas de l’échelle sociale », il n’y a pas d’en dessous, de situation plus basse possible, sinon on est hors de la société.
• « Tout en haut de cette rue il la place des fêtes ; on monte en haut de la colline pour admirer le panorama » alors que l’on ne peut monter au-dessus de cette rue ou de la colline, seuls les oiseaux, les avions, les nuages… sont au-dessus.

Au-dessus (de) ou en dessous (de) s’emploie par rapport à un objet précis ou une position donnée :

• “Il n’y a rien au-dessus de l’amour affirment certains romantiques” : il n’y a pas d’en haut par rapport à quelque chose, à un sentiment, une idée… (mais il y a un en haut possible pour la chose, le sentiment, l’idée…)
• « Ce type est au-dessous de tout » : on ne peut rien attendre de cette personne, on ne peut rien lui confier, son comportement est inadmissible.
• Il y a des oiseaux qui volent au-dessus de la surface de la mer et des poissons qui nagent en dessous

Des significations différentes :

• « Les voisins en dessous sont-ils sympathiques ? » indique généralement les voisins mitoyens en dessous de votre appartement.
• « Les voisins en bas sont très bruyants » pour signifier le bruit que font les voisins du rez-de-chaussée qui peuvent être en dessous de (à la verticale de) votre appartement (qui est au-dessus du deuxième étage, ou plus haut dans les étages) ou sur tout le niveau du rez-de-chaussée ; on entend le bruit en dessous de la ligne d’horizon.

On peut considérer « en haut / en bas » comme des indicateurs de position absolus, ces indicateurs se suffisant à eux-mêmes pour donner une position pleinement compréhensible. Il n’y a généralement pas plusieurs façons d’être « en haut / en bas ».

En revanche, « au-dessus / au-dessous » sont des indicateurs relatifs, du fait que bien souvent, ils ne se suffisent pas à eux-mêmes pour indiquer clairement la position. Un objet est « au-dessus / au-dessous » par rapport à un autre objet.

Avec un complément, au dessus de l’objet signifie plus haut que cet objet, tandis que en haut de l’objet pointe vers la partie haute de l’objet, mais pas plus haut. Le trait d’union dans au-dessus est optionnel. La situation est symétrique pour au dessous de l’objet et en bas de l’objet. On peut dire au(-)dessous ou en(-)dessous, il n’y a pas (plus ?) vraiment de différence ; en-dessus est beaucoup plus rare.

Il y a également sur l’objet qui signifie plus haut que l’objet mais en restant en contact, tandis que au-dessus implique qu’il n’y a pas de contact. La distinction entre au-dessous et sous est moins tranchée.

Pour compliquer les choses, dessus et dessous sont également des noms qui désignent la face supérieure et inférieure respectivement. Ceci peut rendre au dessus ambigu (et pareil avec dessous) : il peut s’agir du dessus de quelque chose dans un complément introduit par à, ou de la locution au-dessus (le trait d’union élimine l’ambiguïté). En pratique le contexte rend en générale la phrase claire ; de temps en temps il faut dire quelque chose comme « sur le dessus » ou « plus haut que » pour désambiguer.

Au dessus/dessous est toujours relatif, mais l’objet peut être implicite. Par contre en haut/bas peut être utilisé de manière absolue : « regarde en haut » peut signifier « regarde le haut de l’objet dont nous parlons » ou « lève les yeux plus haut que l’horizontale ».

L’oiseau vole au-dessus du toit. The bird flies above the roof.
Le ballon est sur le toit. The ball lies on the roof.
Le dessus du toit est peint en rouge. The top side of the roof is painted red.
Le haut du toit s’appelle le faîte. The top part of the roof is called the pinnacle.

Le livre est sur l’étagère du bas de la bibliothèque. The book is on the bottom shelf of the bookcase.
La bille a roulé sous [ou au dessous de] la bibliothèque. The marble rolled under/underneath the bookcase.

              ← au dessus de l’objet

              ← sur l’objet
|——————————|    ← le dessus de l’objet
|          |    ← en haut de l’objet
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|          |    ← en bas de l’objet
|——————————|    ← le dessous de l’objet
              ← sous l’objet

              ← au dessous de l’objet

With a complement, au dessus de l’objet means above this object, whereas en haut de l’objet means level with the upper part of the object. The hyphen in au-dessus is optional (it may be considered mandatory by some prescriptive sources, but I don’t think this holds in practice). Au dessous and en bas are symmetric. En(-)dessous is a synonym of au-dessous; en-dessus exists but is a lot rarer.

An important addition to this list sur l’objet (on the objet) and sous l’objet (under the object). Sur is above and in contact, while au-dessus implies that there is no contact, like on vs above in English. The distinction between sous and au-dessous is less marked.

Just to make things more complex, dessus and dessous are also nouns which designate the upper and lower surface of an object. An expression like au dessus (and likewise with dessous) could be ambiguous: it could designate the dessus part of the object in a complement introduced by the preposition à, or it could mean above the object. In practice this is usually clear from context. If not, expressions such as sur le dessus (on the top surface of …) or plus haut que (higher than …) can clarify the matter.