Non locuteur natif. Je dirais :

Je ne pense pas que les chiens devraient sauter sur les gens.

où

should = conditionnel du verbe devoir dans ce contexte.

jump up on = sauter sur

Je ne connais pas de terme qui en un mot ou deux permette d’identifier cette position dans laquelle les chiens se mettent pour fêter un être humain mais elle peut être décrite sans trop de difficulté. Ils se campent sur leurs pattes arrières et prennent appui avec leurs pattes de devant sur votre poitrine (votre corps).

• Je pense que les chiens ne devraient pas se camper sur leurs pattes arrières et prendre appui sur votre corps avec celles de devant pour vous fêter.

Évidemment on pourrait utiliser simplement « monter sur » ou « monter dessus » suivant le contexte, mais ce n’est pas aussi précis bien dans la plupart des cas une personne d’éducation normale ne confondra pas avec le comportement de ces chiens qui affectent des simulacres de copulation contre les jambes des gens.

• Je pense que les chiens ne devraient pas monter sur les gens pour les fêter.

• Je n’aime pas que les chiens me montent dessus pour me fêter.

An idiomatic phrase for this: “sauter sur (quelqu’un)“.

Note the difference: “monter sur (quelque part)“.

Comment empêcher que mon chien saute sur les invités / les gens / un autre chien ?

{vs}: Comment empêcher que mon chien monte sur la table / le canapé ?

Je dirais familièrement grimper dans le sens de monter en s’agrippant. S’agripper à fonctionnerait avec certaines formulations. Je ne conçois pas le geste comme un saut.

Je ne pense pas qu’on devrait permettre aux chiens de grimper sur le
monde. [les gens]
Je n’aime pas me faire grimper dessus par un chien.
Je n’aime pas quand un chien me grimpe dessus.