This rule does not take into account exceptions that are dictated by context in which various parts of the same sort have to be differentiated.

In the last sentence, if the article is used there is no way to ensure whose hands are meant.
In the second sentence, "mes" (jambes) could have been "les": the rule is not applied in this case (you might refer to that usage as the lax way of speaking); "tes" (hanches) is understandable as there is an initial specification by a possessive (mes): "les hanches" could have an unclear ring as to whose hips are meant, although that is deducible. "Mes" (pieds) is necessary because otherwise is not clear whose feet you are talking about.

The verb "se replier" as meaning "to bend" does not exist in the language; so, in any case, you can’t say "se replier les jambes". The verb form "se replier" does exist but it is used in the context of battles.

In this answer, I learned that with "correct" French, you aren’t supposed to use possessive determiners for body parts ("ma tête, mes jambes"), but instead use a definite article ("la tête, les jambes").

The reply you quote didn’t clearly stated this "rule¹" only apply to sentence like:

Elle aime masser ses jambes.

The reason is primarily to avoid ambiguity as ses jambes doesn’t tell whose legs they are. That means the sentence is grammatically correct but its style would be improved/clarified by using a reflexive construction.

Using possessive determiners for body parts is certainly possible and correct in many cases.

What is generally considered incorrect is using a redundant determiner like in:

Elle aime se masser ses jambes.

A similar redundancy is:

J‘ai mal à ma tête.

but it is less criticized. Redundancy is not forbidden in French. It can be used to emphasize something. It might also be used when talking to kids to make clearer what is said. Reciprocally, redundancy is what naturally comes to kids lips when talking.

The reason is only your own head can aches, not someone else’s head so we use:

J’ai mal à la tête.

About the forms you quoted:

1. Je m’installe sur le dos is the only possible way to tell it. The bogus j’installe sur mon dos would be missing a direct object: "I install on my back" (I install what?)

2. Je replie mes jambes is less easy to sort out. Je me replie les jambes would be grammatically irreprochable but doesn’t happen to be idiomatic. That’s not the case with je me bouche les oreilles which is equivalent to je bouche mes oreilles.

3. Avec mes deux mains and avec les deux mains are both idiomatic and in my opinion could have been used interchangeably.

4. On the other hand avec mes dix doigts sounds better than avec les dix doigts. The last form might trigger the question: "which ones?"

¹ _{I wouldn’t call it a rule but a mild recommendation}

En complément aux réponses précédentes, on peut aussi jeter un coup d’oeil du côté de l’analyse du Bon usage dans sa section sur le déterminant : « Possessif ou article ».

En principe, on remplace le déterminant possessif par l’article défini
quand le rapport d’appartenance est évident (on parle souvent
aujourd’hui d’appartenance inaliénable), notamment devant les noms
désignant les parties du corps (d’un être humain ou d’un animal), les
facultés intellectuelles.
[…]
On met le possessif : 1) quand
le nom est accompagné d’un complément ou d’une épithète [ Un Saxon étendu, SA tête blonde hors de l’eau (A. DAUDET) ] ; 2) dans certaines formules traditionnelles [ Il
lui demanda SA main = Il lui demanda d’être sa femme] ; 3) inversement, pour éviter la
confusion avec des formules traditionnelles où on a l’article. [ Donnez-moi VOTRE bras (dit le médecin) (À distinguer de donner LE bras à qqn, pour que celui-ci s’y appuie.). ]
Pour imiter la langue familière […] J’ai mal dans MES jointures
(COLETTE, Fanal bleu, p. 94). […]
Sans raison particulière
[…] Gros-Alain et Georgette virent […] René-Jeanfroncer SES
sourcils (HUGO) […] — Comme on voit, la règle donnée ci-dessus est loin d’être appliquée strictement.
Dans d’autres cas, le rapport
d’appartenance doit être indiqué, mais il est plus élégant de le
marquer par un pronom personnel complément du verbe que par un
possessif attaché au nom. Un grand […] LUI tirait LES oreilles
(COCTEAU, Enfants terribles)
[…]
Plus négligé encore
paraît le fait d’exprimer à la fois le pronom personnel et le
possessif. Cela, pourtant, n’est pas si rare dans la littérature : Je
voudrais bien savoir […] si le grand Cyrus et le grand Attila /
SE sont graissé LEURS peaux avec cet onguent-là (HUGO).[…]

[ Le bon usage, Grevisse et Goosse, éd. Duculot, 14^e, extraits choisis du §
609, notes et variation de la taille de la police omises, exemples présentés plus loin dans l’original ayant été intercalés ici entre crochets ]

Aucun de ces exemples n’est incorrect, on parle de choix moins élégants ou plus négligés encore. On peut s’éloigner de la norme, ce qui est parfois justifié, utile, et même quand ce ne l’est pas, ce n’est pas nécessairement incorrect, si hors-normes.

Et par la suite on déborde du sujet précis de la question et suit (au LBU) une analyse de subtilités où le possessif de la 3^e personne est concurrencé par l’article indéfini avec l’antécédent représenté par le pronom en ; et la sélection d’un tour avec l’un ou l’autre peut être conditionnée par la nature de l’antécédent (animé humain, inaminé) et un ensemble de facteurs. La question s’analyse aussi sous l’angle d’usages portant sur le pronom comme objet (indirect) etc.

Je trouve vraiment difficile d’avoir une vue d’ensemble du sujet qui permettrait d’en faire une présentation qui serait systématique tout en étant aussi utile que celle trouvée dans une autre réponse et le genre de question présenté là et ailleurs est du type qui permette de réfléchir à l’adéquation entre les choix faits et l’usage, confirmant qu’une simple règle comme celle présentée d’entrée de jeu en question, tout en donnant une idée, ne saurait suffire à décrire la diversité de ces usages, avec les parties du corps ou autrement.

Question:
Why are both definite article (“les”) and possessive determiners (“mes”, “tes”) used here for body parts?

It depends on what you are saying:

The easiest way for a French learner to understand this rule about body parts is to think of this:

A)
She washes her hands in the kitchen sink.
I brush my teeth in the morning.
We wax our legs every Friday.
She combs her hair in the bathroom.

Etc. In other words, when we do things to our bodies, in English you use a possessive with a body part as in the examples above. Whereas in French, you shift the pronoun to the verb.

Elle se lave les mains dans l’évier de la cuisine.
Je me brosse les dents le matin.
Nous nous épilons les jambes tous les vendredis.
Elle se peigne les cheveux dans la salle de bain.

B)
Obviously, sentences like:
Your hands are dirty, Johnny. Don’t touch the food. do use possessive pronouns in French with body parts.

would be:
Tes mains sont sales, Johnny. [Ne] Touches pas à la nourriture. [informal often leaves off the ne in spoken French.]

If your feet are clean, you may walk on my white carpet barefoot!

Si tes pieds sont propres, tu peux marcher pieds nus sur mon tapis blanc !

Obviously, I have not covered every single usage, but it a learner learns the pronoun shift to the verb, they can get pretty far….

C)
Also, when you move parts of your body, and it’s clear whom they belong to in moving them (such as lift, lever; bend, plier; cross, croiser; turn, tourner; draw in, ramasser [dance]), French doesn’t usually use any possessive:
Je lève les jambes pendant cet exercice-là.
Je plie les jambes quand je m’assieds.
Je croise les bras devant cette attitude.

These are movements that one does TO parts of one’s own body: lever, plier, croiser, tourner (la tête) etc. Why? There is logic here. Unless you are moving parts of someone’s else body, there is no need for a possessive as they could not belong to anyone other than the antecedent person. In that sense, it’s English that’s weird: Lift your legs. or Turn your head.

But if you are telling someone to do those movements to those parts of their body, they can take a possessive:

• Levez la/votre jambe un peu plus pour bien faire le mouvement.
• Tournez la/votre tête vers la gauche.

etc.

[Please note: I have not dealt with complicated speech redundancies here. One step at a time.]