Whenever it is possible to say a paper in English, une publication is the correct translation.

For more precise usages, consider:

• Un article: publication in a journal
• Une thèse: same as English’s thesis

NB: Don’t say un papier! It litterally means a paper, as in, a sheet of paper…

This answer is a complement to Nino Filiu’s. There are contexts relevant today as concerns the use of the word in learned circles. « Thèse » seems to be the central term, and « article » a recent adjonction to the vocabulary. The term « article de recherche » is mentionned in this article: La méthodologie universitaire : forme et contenu.

• scientific paper: étude, mémoire

Dans le milieu universitaire, une thèse est un mémoire résumant un travail de recherche universitaire. (Wikipédia)

Dans les pays francophones, la thèse représente un travail de recherche de plus grande ampleur que le mémoire. Au Royaume-Uni, le terme de thèse (thesis) est utilisé pour les travaux de doctorat et de master recherche, les masters professionnels et les bachelors étant obtenus après rédaction d’une dissertation. Aux États-Unis, le terme de dissertation est employé plus largement que celui de thesis. Dans certaines universités, le terme de thesis est même limité aux travaux du niveau du master. (Wikipédia)

• He did a good paper in French.: Il a fait un bon écrit en français.

Mostly post-university use (I’d say)

• to read a paper (i) *faire une communication (à une société savante, etc.) (ii) faire une conférence, un exposé; colloquial: lire un papier

Quand on parle d’un “paper” en milieu universitaire, on parle ni d’une “thèse” ni d’un “article” publié dans une revue. On parle ou (a) d’un “exposé” que l’étudiant remettra dans un cours à la fin de la session ou (b) d’une communication qu’on présentera ou qu’on a déjà présentée à un congrès, symposium ou autre rencontre. À un niveau très informel, on utilise “paper” [pépèr] à tour de bras. À noter que dans les cours où on demande à l’étudiant de présenter un paper pour la session, il n’y a généralement pas d’examen de fin de session (final exam). Sur ce dernier point, je parle pour la situation au Québec.