Je dirais que le moins du monde est plus soutenu que un tant soit peu.

Pour ma part, je pourrais utiliser un tant soit peu à l’oral, alors que je n’utiliserais pas le moins du monde. Par contre, je pourrais utiliser sa forme négative pas le moins du monde qui est plus courante.

Je ne connaissais pas remotely mais d’après ce que j’ai vu, ça semble tout-à-fait correspondre. L’idée est “even if just a little bit”.