I « Rendre un service » signifie « faire quelque chose pour quelqu’un, pas nécessairement gratuitement ou sans une rétribution, mais sous aucune obligation, seulement sous la motivation de vouloir aider la personne à qui le service est rendu ».

« Faire une faveur à quelqu’un » signifie « faire profiter quelqu’un de quelque chose gratuitement ».

II Oui, « rendre une faveur » signifie « to return a favour » but just as well « to do a favour » (reverso) . On dit aussi « rendre la pareille » pour « rendre une faveur » dans le sens pur de « rendre ».

• Il est « absurde » d’imaginer qu’Israël devra rendre une faveur suite à la reconnaissance de Jérusalem, affirme Netanyahu “C’était une anomalie historique et il était temps que cela … (Web)

C’est pourquoi il vaut mieux dire « faire une faveur » ou (formel) « accorder une faveur » pour « to do a favour ».

Les mots « faveur » et « service » n’ont pas tout à fait le même sens. Dans « faveur » il y a une idée de bienveillance qu’on a envers quelqu’un. Une faveur c’est quelque chose que l’on fait pour être agréable à quelqu’un, ça peut être fait sans qu’on nous le demande.

Exemple de situation où je pourrais l’employer : on fait la queue pour avoir des places pour un concert de Sting, j’arrive au guichet et on me dit que j’ai de la chance, je vais avoir la dernière place. Derrière moi il y a une vieux monsieur dont c’est peut-être la dernière occasion de sa vie de voir Sting en concert, je le laisse passer devant moi, on peut dire que je lui « fais une faveur ».

Dans « service », il y a bien sûr aussi l’idée qu’on veut faire plaisir, mais en plus il y a une idée d’utilité qu’il n’y a pas dans « faveur ». Par exemple je peux dire que j’ai « rendu service » à mon voisin en lui faisant ses courses quand il était malade. Je ne dirais pas dans ce dernier exemple que je lui ai « fait une faveur ».

Je n’ai jamais entendu « rendre une faveur ». On fait/on accorde une faveur et on rend un service. Les emplois trouvés de « rendre une faveur » sont considérés comme des anglicismes.

Attention à l’emploi de l’expression accorder ses faveurs (pluriel + déterminant possessif).
Au sens classique cette expression voulait dire qu’on s’offrait sexuellement à quelqu’un. Elle est moins employée dans ce sens de nos jours et sert surtout au sens figuré pour dire qu’on privilégie/qu’on préfère quelque chose.