Je ne pense pas qu’il y ait une règle fixe. Je pense que c’est une question de feeling.

Dans ton exemple avec vite, c’est vrai que a vite oublié sonne mieux que a oublié vite.

Mais dans cet exemple :

Ils ont travaillé vite.

Ils ont vite travaillé.

Les deux phrases sont parfaitement correctes. Mais elles ne sont pas interchangeables. Si quelqu’un dit Ils ont à peine commencé à travailler, et ils ont déjà presque fini !, tu ne peux que répondre C’est parce qu’ils ont travaillé vite. Tu décris la manière dont ils ont travaillé.

Ils ont vite travaillé comporte plutôt le sens de Ils ont vite commencé à travailler. Tu évoques le temps qui s’est écoulé entre avant qu’ils ne travaillent et quand ils ont commencé à travailler.

J’ai l’impression que lorsque vite est placé entre l’auxiliaire et le participe passé, on parle du temps qu’il a fallu pour commencer l’action, alors que quand il est placé après, on parle du temps qu’il a fallut pour exécuter l’action.

Je suis entré dans une maison, mais elle était sombre et inquiétante, alors je suis vite parti.

… signifierait que je n’y suis pas resté longtemps.

Je suis entré dans une maison, mais elle était sombre et inquiétante, alors je suis parti vite.

… signifierait que je suis parti en courant.

Je ne serais pas choqué par cette phrase :

Je suis vite parti vite.

… soit je suis parti immédiatement, et à toute vitesse.

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C’était l’emploi de vite avec un temps composé, mais qu’en est-il au présent ? Je pars vite peut vouloir dire les deux :

Je pars immédiatement.

Je pars en courant.

N’est-ce pas la même chose en anglais ? Go fast! ne peut-il pas signifier à la fois Go now! (even if you only walk, go now) et Run! ?

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Un autre exemple à l’impératif :

Vite, fais tes devoirs !

… voudrait plutôt dire fais tes devoirs tout de suite, même si ça te prend trois heures.

Fais vite tes devoirs !

… voudrait plutôt dire fais tes devoirs rapidement parce qu’après tu dois aller te coucher.

C’est mon ressenti, je ne sais pas si une règle peut confirmer ou infirmer ce que j’ai écrit.

On trouve parfois dans les livres et blogs de grammaire que l’adverbe se place après le verbe aux temps simples et après le participe passé aux temps composés. Si effectivement c’est quasiment toujours vrai pour les temps simples, c’est plus compliqué que ça pour les temps composés. La distinction adverbes courts et adverbes longs que font certains n’est pas non plus une règle infaillible. Je préfère suivre la grammaire Larousse du français contemporain que j’adapte à ma sauce.

Les adverbes de lieu se placent après le participe passé :

Je n’ai pas vu le trou dans la nuit et je suis tombé dedans.
Je l’ai posé ici/plus bas, etc.

Les adverbes de temps se placent en général après le participe passé,

Je me suis couché tard et je me suis levé tôt.
Il est reparti avant-hier.

Cependant souvent, toujours, autrefois, maintenant, (tout) juste se placent avant le participe passé :

Je suis souvent allé en Italie.
Ils sont tout juste arrivés.

Longtemps peut se placer avant ou après :

J’ai marché longtemps avant d’arriver.
J’ai longtemps marché avant d’arriver. (plus littéraire)

Les adverbes de manière courts se placent avant le participe passé :

J’ai bien mangé.
J’ai mal dormi.
Il a parlé (tout) bas.

Les adverbes de manière longs se placent de préférence après le participe passé :

Je lui ai parlé gentiment.
Il m’a regardé longuement.

Cependant on peut les placer avant le participe passé, ce qui crée un effet de style en donnant plus de valeur à l’adverbe.

Je lui ai gentiment parlé.
Il m’a longuement regardé.

La place de l’adverbe par rapport au participe passé donne parfois un sens différent à l’adverbe :

J’ai vu juste. (→ Je ne me suis pas trompé)

à différencier de :

J’ai juste vu ce qui se passait avant de partir. (→ J’ai seulement vu…)

Les adverbes de quantité se placent en général avant le participe passé :

J’ai peu mangé et trop bu.

Je ne pense pas avoir été exhaustif. À compléter donc.