Il n’existe que dix chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ce sont des signes, des symboles qui servent à écrire tous les nombres, comme les lettres de l’alphabet servent à écrire tous les mots du dictionnaire.

Les nombres représentent une quantité, une valeur et peuvent être écrits avec un ou plusieurs chiffres. L’ordre de lecture est important et on lit toujours de gauche à droite.

http://www.jerevise.fr/difference-chiffre-nombre.html

Il me semble qu’il y a déjà la plupart des éléments de réponse dans ta question.

Pour clarifier :

Un chiffre est un signe perceptible, une convention arbitraire (un dessin ou une série de sons la plupart du temps) ayant un rôle particulier dans un système de représentation numérique. Pour chaque système, il y a une série déterminée de caractères qui sert à construire les représentations des nombres, et on appelle alors ces caractères des chiffres. En base 10, on a besoin de dix chiffres, et en français on utilise aujourd’hui pour ceci les chiffres arabes (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) (il y a d’autres systèmes de représentation numérique comme le système hexadécimal bien connu en informatique utilisant 16 chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E), et même d’autres modes d’utilisation des caractères, bien sûr, comme les lettres qui composent les mots, par exemple)
Un nombre est une idée, une abstraction mathématique que l’on peut représenter de plusieurs manières, notamment par des chiffres. Le cas que tu cites de la lettre π est un bon exemple d’une alternative à l’utilisation de chiffres : on peut représenter un nombre par une lettre, c’est une des bases de l’algèbre.

Et pour répondre plus spécifiquement aux interrogations de la fin de ta question :

• “87” est un nombre que l’on exprime, en base 10, avec deux chiffres. (En base 100, un seul chiffre suffirait pour écrire ce nombre. En binaire, ce nombre s’exprime avec 7 chiffres : 1010111)

• Le caractère “π” est utilisé, en tant que lettre, pour représenter en mathématique une fameuse constante un peu supérieure à 3, mais ce n’est pas un chiffre. (Ecrire “25π0” ou “π,1” ne représente pas des nombres de manière valide.)

En première acception, les chiffres sont aux nombres ce que les lettres sont aux mots. Les premiers sont des signes qui assemblés permettent de représenter les seconds.

Mais chiffre et nombre ont d’autres acceptions. En particulier chiffre peut signifier le résultat d’un calcul ou d’un dénombrement (auquel cas nombre ou somme lui est souvent substituable, chiffre ayant même alors à mon oreille un aspect vieilli pour ne pas dire désuet).

La différence est la même que celle entre une lettre et un mot. Un chiffre (respectivement une lettre) est un symbole servant, avec d’autres symboles, à écrire un nombre (respectivement un mot.) C’est un élément du premier ordre d’un langage, si tu veux une définition logicienne.

Je vous conseille que ce n’est pas ma langue maternelle, mais c’est une chose que j’ai entendu où j’enseigne les maths: dans un niveau de langue familier, on dit parfois « chiffre » pour dire « nombre ». Le wiktionnaire l’affirme :

http://fr.wiktionary.org/wiki/chiffre

pi (mon clavier ne comporte pas le symbole) est une abstraction mathématique qui représente un nombre non réel, pi n’est pas un chiffre, tout comme 87 n’est pas un chiffre et 3,14 non plus ! 3,14 est un nombre décimal fini, composé des chiffres 3, 1, et 4. Pi n’est pas un nombre décimal et ne peut pas en être un puisqu’il n’est pas fini. (d’où sa qualification de “nombre infini”).