Le a de pape est en effet court : le TLF donne la prononciation comme [pap] (ce qui contraste, par exemple, avec le a long de mare : [mɑ:ʀ].

En résumé :

• pape : courte et antérieure (antérieure = comme patte)
• mare : longue et postérieure (postérieure = comme pâte)

La distinction entre antérieures et postérieures étant en train de disparaître du français parlé pour les a (voyelles ouvertes), la longueur tend à devenir la seule différence.

Pour autant que je sois capable de m’observer, ma prononciation de « pape » utilise un a plus long que celui de « patte » mais plus court que celui de « pâte » ou de « mare ».

J’ai par ailleurs dans mon vocabulaire un mot (vraisemblablement un belgicisme, ma femme en tout cas ne le connaissait pas la première fois que je l’ai employé devant elle) qui s’écrit aussi « pape » (merci Joubac pour la référence, c’est le deuxième onglet) mais que je prononce avec un a très court comme celui de « patte » signifiant en gros « bouillie ».

Au Québec, qu’on me corrige si j’ai tort, on prononce court le « A » de « pape », je n’ai d’ailleurs jamais entendu le mot « pape » prononcé avec un A long.
J’aimerais avoir l’avis d’autres Québécois(e)s.