Procès utilisé comme synonyme de processus est un terme vieilli ou littéraire.

De façon usuelle, un procès est le terme juridique qui constate un litige entre deux parties.

À l’origine,

Un procédé est une façon d’agir envers autrui.

Mais utilisé de façon didactique,

Un procédé est la forme particulière que revêt le déroulement d’un processus.

L’action est induite dans procédé qui dérive du verbe procéder (faire, exécuter une opération complexe).

Bien que ces termes puissent être échangés sans risques au cour d’une conversation, il y a une nuance entre les deux mots.

Procès vient du latin processus qui désigne l’action de s’avancer, et a d’abord et dès le moyen-âge désigné une démarche juridique.
Par un deuxième emprunt au latin au 13^e siècle procès a pris le sens étymologique de « marche, développement, progrès ». Ce sens est désormais considéré comme vieilli et ne s’emploie plus guère qu’en philosophie ou en didactique comme le signale le TLF qui donne comme exemple :

Loin de nous l’idée qu’en résumant certains traits du langage des enfants nous pensions dessiner, fût-ce d’une façon approximative, le procès de l’apparition du langage dans l’espèce humaine (Arts et litt., 1935, p.50-10).

Le livre du philosophe britannique Whitehead Process and Reality (1929) est traduit en français par « Procès et Réalité ».

En philosophie marxiste on parle de « procès de travail ».

En linguistique on dit que

le verbe est parfois défini comme exprimant un procès (du lat, processus, ce qui « s’avance », ce qui se passe, ce qui se déroule dans le temps); ce terme de procès désigne la notion générale synthétisant les notions particulières d’action, d’état, de devenir, rapportées à un sujet. (Grevisse)

De nos jours la majorité des francophones ne connaissent plus que le sens juridique du mot procès.

Dans le domaine technique et industriel (manufacturing process) on parle de procédé (de fabrication, de production…) :

suite d’opérations mises en œuvre pour le traitement ou l’élaboration de produits industriels. (TLF)

Le processus est une

Suite continue de faits, de phénomènes présentant une certaine unité ou une certaine régularité dans leur déroulement.

La BDL de l’Office Québécois de la langue française distingue bien les différences d’emploi des mots « procédé », « processus » et « procédure » qui « prêtent à confusion puisqu’ils comportent un sens commun qui est celui de ” méthode” » :

En résumé, un procédé, c’est une méthode employée pour obtenir le résultat recherché, un processus, c’est une suite d’opérations, et une procédure, c’est un ensemble de règles qu’il convient d’observer pour obtenir un résultat donné.

Pour compléter la réponse après le dernier ajout à la question il faut signaler que le mot anglais process est parfois traduit par « process » en français. C’est considéré comme un anglicisme.