Penser est le verbe passe-partout, avec une pléthore de significations très vaste : raisonner, concevoir, envisager, réfléchir etc. Il est employé le plus couramment.
Penser met en avant l’élément rationnel (je pense, donc je suis).

Songer est plutôt utilisé dans la locution ‘songer à’, dans le sens de projeter, avoir l’intention de, envisager, méditer; dans ce sens il est plus utilisé que ‘penser à’.
Songer est plus vague signifiant aussi rêver.

Voir

https://dict.leo.org/forum/viewGeneraldiscussion.php?idForum=10&idThread=72975&lp=frde&lang=fr

https://forum.wordreference.com/threads/songer-penser.2666863/

EDIT

Voir la réponse complète de l’utilisateur @jlliagre ici : Is there a distinction between "le rêve" and "le songe"?

Un extrait :

The verb songer, while rare, is still used but has shifted its
meaning from rêver to penser with a small nuance. Penser means
to think (of something) while songer is more like to imagine the
eventuality of something, to consider something. Compare:

Je pense me présenter aux élections. : Odds are high it will happen.

Je pense à me présenter aux élections. : I do not forget to do it.

Je songe à me présenter aux élections. : I’m still unsure and likely still weighing up the pros and cons.

We can see that in the songer case, there is still a part of dream
in the sense imaginary images or events are showing up in your mind.