Dans ce cas-ci, rechercher est inapproprié. Ce n’est tout simplement pas le mot consacré pour cette construction.

Rechercher signifie “chercher avec insistance, contre des obstacles”. C’est ainsi qu’on parle de rechercher un remède ou rechercher un suspect.

Le préfixe re- ici est un préfixe de renforcement (cf. rapetisser, remercier, renforcer, raccourcir, ralentir, rétrécir, rallonger, remplir, redoubler, rembarrer…), non de répétition.

In this case, rechercher is inappropriate. It simply isn’t the word used for this construction.

Rechercher means “to seek insistantly, against obstacles”, as when one talks of rechercher un remède (seek a remedy) or rechercher un suspect (seek a suspect).

The prefix re- is here a prefix of emphasis (cf. rapetisser, remercier, renforcer, raccourcir, ralentir, rétrécir, rallonger, remplir, redoubler, rembarrer…), not of repetition.

Le choix entre chercher et rechercher est parfois important :

Cet homme cherche Thomas.
Cet homme recherche Thomas.

La première phrase signifie que quelqu’un souhaite parler à Thomas. (En fait, il y a une autre possibilité qui n’a rien à voir : celui-ci fait exprès de le narguer et il cherche ce qui le fera craquer). Avec la deuxième phrase on comprend que l’homme est après lui depuis longtemps, qu’il cherche à retrouver sa trace.

Parfois c’est plus subtil :

Cherchez le calme.
Recherchez le calme.

Le sens de la première phrase est : « essayez de le trouver ». Le sens de la deuxième est : « ayez la volonté de l’obtenir ».

On recherche par envie ou volonté d’obtenir ou de mettre la main sur quelque chose ; si l’on cherche c’est simplement que sur le moment on ne sait pas où trouver (on ne fait pas preuve de détermination à long ou moyen terme).

En particulier, ça explique les cas suivants :

Je cherche mon stylo.
Il cherche une issue.
Allez chercher le médecin.

Il recherche les faveurs du roi.
Ce sont des qualités que tout le monde recherche.

Remarque 1 : Les inanimés ne recherchent pas, mais figurativement ils peuvent chercher :

L’eau cherche un passage.

Remarque 2 : Chercher est en général l’unique possibilité dans les tournures ironiques ou sarcastiques.

Il cherche le bâton pour se faire battre.
Il peut chercher longtemps !
Qu’il cherche…

Remarque 3 : Chercher s’emploie peu (ou pas du tout ?) à la voie passive, alors que être recherché est très courant.